Question

[Ngô Trung Hiếu]

Bài 1 : Tìm GTNN của biểu thức sau đây:

                         H = x² - 3x + 5

Bài 2 : Chứng minh rằng với mọi giá trị của x các đẳng thức sau đây nhận giá trị dương.

                          Q = x² + x + 1

Answer 1

[Nguyễn Tấn Phát]

Bài 1: Ta có:

\(H=x^2-3x+5=x^2-2.x.\frac{3}{2}+\frac{9}{4}+\frac{11}{4}=\left(x^2-2.x.\frac{3}{2}+\frac{9}{4}\right)+\frac{11}{4}=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\)

Vì \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\ge\frac{11}{4}\)

do đó: \(GTNN_H=\frac{11}{4}\), dấu bằng xảy ra tại \(x=\frac{3}{2}\)

Answer 2

[Ahwi]

1/ \(H=x^2-3x+5\)

\(H=x^2-2\cdot\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2+5\)

\(H=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+5\)

\(H=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\)

Có \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\ge\frac{11}{4}\)

\(\Rightarrow GTNNx^2-3x+5=\frac{11}{4}\)

với \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2=0;x=\frac{3}{2}\)

2/ \(Q=x^2+x+1\)

\(Q=x^2+2\cdot\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2+1\)

\(Q=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}+1\)

\(Q=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

Có \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\)

=> Với mọi giá trị của x các đẳng thức trên đây nhận giá trị dương.