cmr với mọi n thuộc N* $1 \frac{1}{2\sqrt{2}} \frac{1}{3\sqrt{3}} ... \frac{1}{n\sqrt{n}}< 2\sqrt{2}$

NM

nguyễn minh

19 tháng 7 2019

cmr với mọi n thuộc N* $1+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{3}}+...+\frac{1}{n\sqrt{n}}< 2\sqrt{2}$

#Toán lớp 9

0

DT

Dương Thanh Ngân

11 tháng 9 2020

CMR:

Với n thuộc N*

$a)1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}\\ b)\frac{1}{\sqrt{n}}>2\left(\sqrt{n-1}-\sqrt{n}\right)$

#Toán lớp 9

0

NT

Nguyễn Thùy Linh

6 tháng 7 2017

CMR$\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$với n thuộc N

Áp dụng CMR $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2500}}< 100$

#Toán lớp 9

1

MT

Mai Thanh Hải

6 tháng 7 2017

Ta có :

$\hept{\begin{cases}\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\end{cases}}\forall n\in N$

Suy ra : $\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

Đặt $M=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2499}}+\frac{1}{\sqrt{2500}}$

$\Leftrightarrow\frac{1}{2}M=\frac{1}{2\sqrt{2500}}+\frac{1}{2\sqrt{2499}}+...+\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2}$

Áp dụng BĐT , ta có :

$\frac{1}{2}M< \sqrt{2500}-\sqrt{2499}+\sqrt{2499}-\sqrt{2498}+...+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+\frac{1}{2}$

$\Rightarrow\frac{1}{2}M< \sqrt{2500}-\sqrt{1}+\frac{1}{2}=50-\frac{1}{2}< 50$

$\Rightarrow M< 100$

Đúng(0)

DT

ĐẶng Trung Kiên

4 tháng 8 2019

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<2$Bài 2: Với mọi n thuộc N, $n\geq 3$, chnứng minh:\(\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+...+\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}<...