K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

9 tháng 8 2016

Cho  \(a,b,c\in Q\)  thỏa mãn  \(a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}=0\)   \(\left(i\right)\)

Chứng minh rằng:  \(a=b=c=0\)

\(-------\)

Chứng minh bổ đề:  \(\sqrt[3]{2}\)  là một số vô tỉ.

Đối với loại bài toán trên, ta cần dùng phương pháp phản chứng để tìm đáp án.

Thật vậy, giả sử  \(R=\sqrt[3]{2}\)  là một số hữu tỉ.

Tức là phải tồn tại các số nguyên  \(m,n\)  sao cho  \(R=\frac{m}{n}\) nên  \(R\) là nghiệm hữu  tỉ của phương trình:

\(\left(\frac{m}{n}\right)^3=2;\)

Suy ra  \(m\inƯ\left(2\right),\)   \(n\inƯ\left(1\right)\)  

Tuy nhiên, lại không tồn tại  \(m\) nào  là ước của  \(2\)  mà lũy thừa \(3\) (lập phương) bằng  \(2\) 

Do đó, suy ra điều giả sử sai!

Vậy,  \(R\)  là một số vô tỉ.

\(-------\)

Ta có:

\(\left(i\right)\)  \(\Rightarrow\)  \(c\sqrt[3]{2^2}+b\sqrt[3]{2}+a=0\)  \(\left(ii\right)\)

Đặt  \(a=z;\)  \(b=y;\)và   \(c=x\)  \(\Rightarrow\)  \(x,y,z\in Q\)

Ta biểu diễn lại phương trình   \(\left(ii\right)\)  dưới dạng ba biến số  \(x,y,z\)  như sau:

\(x\sqrt[3]{2^2}+y\sqrt[3]{2}+z=0\)  \(\left(\alpha\right)\)

Giả sử phương trình  \(\left(\alpha\right)\) tồn tại với ba ẩn  \(x,y,z\)  được xác định, ta có:

\(y\sqrt[3]{2^2}+z\sqrt[3]{2}+2x=0\)  \(\left(\beta\right)\)

Từ  \(\left(\alpha\right);\left(\beta\right)\)  suy ra được  \(\left(y^2-xz\right)\sqrt[3]{2}=\left(2x^2-yz\right)\)

Nếu  \(2x^2-yz\ne0\)  \(\Rightarrow\)  \(\sqrt[3]{2}=\frac{2x^2-yz}{y^2-xz}\)  là một số hữu tỉ. Trái với giả thiết!

\(\Rightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}y^2-xz=0\\2x^2-yz=0\end{cases}}\)  \(\Rightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}y^3=xyz\\yz=2x^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)  \(y^3=2x^3\)  hay nói cách khác,  \(y=x\sqrt[3]{2}\)

Nếu   \(y\ne0\)  thì  \(\sqrt[3]{2}=\frac{y}{x}\in Q\)   (mâu thuẫn với giả thiết theo bổ đề trên)

\(\Rightarrow\) \(x=0;y=0\)  

Từ đó, ta dễ dàng chứng minh được  \(z=0\)

Do đó,  \(a=0;b=0;c=0\)  (theo cách đặt trên)

Ngược lại, nếu  \(a=b=c=0\) thì vẫn thỏa mãn  \(\left(i\right)\)  luôn đúng!

Vậy,  tóm lại tất cả các điều đã nêu trên, kết luận   \(a=b=c=0\)

28 tháng 7 2017

khó quá bạn ơi mik ko biết

xin lỗi bạn nha

25 tháng 1 2020

1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)

\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)

25 tháng 1 2020

2.

Vỉ \(ab+bc+ca+abc=4\)thi luon ton tai \(a=\frac{2x}{y+z};b=\frac{2y}{z+x};c=\frac{2z}{x+y}\)

\(\Rightarrow VT=2\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{ab}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le2\Sigma_{cyc}\frac{\frac{b}{b+c}+\frac{a}{c+a}}{2}=3\)

NV
21 tháng 8 2021

Áp dụng  \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) và \(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\)

\(N\ge\dfrac{a^2b}{c}+\dfrac{b^2c}{a}+\dfrac{c^2a}{b}\ge\dfrac{1}{3}\left(a\sqrt{\dfrac{b}{c}}+b\sqrt{\dfrac{c}{a}}+c\sqrt{\dfrac{a}{b}}\right)^2=3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

21 tháng 8 2021

thx, appreciate it

6 tháng 10 2018

Bunhiacopxkhi \(\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\) 

\(\Rightarrow\sqrt{\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)}\ge a+b+c\) 

Ta có:\(A=\frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a+b}}\le\frac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\)\(\Rightarrow\sqrt{3}A=\frac{\sqrt{3a}\sqrt{a+ab+ac}+\sqrt{3b}\sqrt{b+bc+ba}+\sqrt{3c}\sqrt{c+ca+cb}}{a+b+c}\) 

\(\Rightarrow\sqrt{3}A\le\frac{4a+ab+ac+4b+bc+ba+4c+ca+cb}{a+b+c}=\frac{4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(a+b+c\right)}\) 

\(\Rightarrow\sqrt{3}A\le\frac{2\left(a+b+c\right)+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{a+b+c}=\frac{6+a+b+c}{3}\le\frac{9}{3}=3\) 

\(\Rightarrow A\le\sqrt{3}\)

3 tháng 1 2019

Áp dụng \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\) Dấu "=" xảy ra khi a hoặc b bằng 0 nhưng bài này a, b dương nên dấu "=" ko xảy ra nhé

\(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}>\sqrt{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}}>\sqrt[4]{a^3+b^3}=\sqrt[4]{\left(a+b\right)^3+3ab\left(a+b\right)}\)

\(=\sqrt[4]{c^3+3abc}>\sqrt[4]{c^3}\) ( đpcm ) 

31 tháng 12 2015

hả?

bài để thi hok kì I đó hả? đúng khó *_*

mk sẽ ghi lại để sau này mk hok

31 tháng 12 2015

câu hỏi tương tự ko có đâu