Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3.Chứng minh rằng a^2-1 chia hết cho 24
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BN
1
S
22 tháng 11 2017
Ta có: A = n2 - 1 = (n - 1)(n + 1)
Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên (n - 1)(n + 1) là tích hai số chẵn liên tiếp => A \(⋮\) 8 (1)
Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên n có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k thuộc N)
- Nếu n = 3k + 1 thì:
A = (n - 1)(n + 1) = (3k + 1 - 1)(3k + 1 + 1) = 3k(3k + 2) \(⋮\) 3
- Nếu n = 3k + 2 thì:
A = (n - 1)(n + 1) = (3k + 2 - 1)(3k + 2 + 1) = (3k + 1)(3k + 3) = 3(3k + 1)(k + 1) \(⋮\) 3
Từ hai trường hợp trên ta có A \(⋮\) 3 (2)
Mà (8,3) = 1 (3)
Từ (1),(2),(3) => \(A⋮24\)
HK
1
HN
24 tháng 6 2015
Ta có ( a2-1)=(a+1)(a-1)
* Vì a lớn hơn 3 nên a là số lẻ, do đó (a2-1) chia hết cho 24 là tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp
\(\Rightarrow\) chia hết cho 8 (1)
* Trong 3 số tự nhiên liên tiếp thì tồn tại 1 số chia hết cho 3 nên tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 hay ( a+1) a(a-1) chia hết cho 3 , do a là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a không thể chia hết cho 3. Do đó (a2-1) chia hết cho 24 \(\Rightarrow\) (a+1)(a-1) chia hết cho 2 (2).
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) chia hết cho 24 . (đpcm)
NN
3
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 2 2023
Lời giải:
a.
$2n^2+n-6=n(2n+1)-6\vdots 2n+1$
$\Rightarrow 6\vdots 2n+1$
$\Rightarrow 2n+1$ là ước của $6$
Mà $2n+1$ lẻ nên $2n+1\in\left\{\pm 1; \pm 3\right\}$
$\Rightarrow n\in\left\{0; -1; 1; -2\right\}$
b.
Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3 nên $p=3k+1$ hoặc $p=3k+2$
Với $p=3k+1$ thì $p^2-1=(p-1)(p+1)=3k(3k+2)\vdots 3$
Với $p=3k+2$ thì $p^2-1=(p-1)(p+1)=(3k+1)(3k+3)=3(3k+1)(k+1)\vdots 3$
Suy ra $p^2-1$ luôn chia hết cho $3$ (*)
Mặt khác:
$p$ lẻ nên $p=2k+1$. Khi đó: $p^2-1=(p-1)(p+1)=2k(2k+2)$
$=4k(k+1)\vdots 8$ (**) do $k(k+1)\vdots 2$ (tích 2 số nguyên liên tiếp)
Từ (*) ; (**) suy ra $p^2-1\vdots (3.8)$ hay $p^2-1\vdots 24$.
NT
1
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
17 tháng 12 2023
nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 \(\Rightarrow\) p không chia hết cho 3
p2 không chia hết cho 3 ⇒ p2 không chia hết cho 24;
Vậy không tồn tại số nguyên tố nào thỏa mãn đề bài.
AA
1
11 tháng 1 2021
Vì p là số nguyên tố >3 nên p là số lẻ
→ 2 số p-2,p+1 là 2 số chẵn liên tiếp
→(p-2)(p+1) ⋮ cho 8 (1)
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
→ p=3k+1 hoặc p=3k+2 (k thuộc N*)
+)Với p=3k+1 → (p-2)(p+1)=3k(3k+2) ⋮ cho 3 (*)
+) Với p=3k+2 → (p-2)(p+1)=(3k-1).3.(k+1) ⋮ 3 (**)
Từ (*) và (**) →(p-2)(p+1) ⋮ 3 (2)
Vì (8;3)=1 → từ (1) và (2) => (p-2)(p+1) ⋮ 24
BM
1
EG
21 tháng 1 2018
Ta có:
12p2-1
=>12p.12p - 1
=> 144p - 1
144p chia hết cho 24, 1 không chia hết cho 24.
=> 12p^2-1 \(⋮̸\)24
Vậy 12p2-1 \(⋮̸\)24
G
9 tháng 9 2014
a) Số nguyên tố lớn hơn 3 thì không chia hết cho 8, 4 và cho 2. Một số chia cho 8 dư 0, 1, 2,3, 4, 5, 6,7 => Nếu số là nguyên tố lớn hơn 3 thì khi chia cho 8 phải dư 1 hoặc 3 hoặc 5 hoặc 7 (vì nếu số đó chia 8 dư 2 thì nó viết dạng 8k + 2 chia hết cho 2, tương tự vậy không thể chia cho 8 dư 4 và dư 6)=> Số nguyên tố bình phương lên chia cho 8 dư 1 (vì 12 chia 8 dư 1, 32 =9 chia 8 dư 1, 52 =25 chia 8 dư 1, 72 = 49 chia 8 dư 1).
Vậy cả p2 và q2 chia 8 đều dư 1 => Hiệu p2 - q2 chia hết cho 8 (vì trừ cho nhau phần dư sẽ triệt tiêu).
Tương tự vậy, số nguyên tố lớn hơn 3 thì khi chia cho 3 phải dư 1 hoặc dư 2 => Bình phương số đó khi chia cho 3 dư 1 ( vì 12 = 1 chia 3 dư 1; 22 =4 chia 3 dư 1) => p2 và q2 chia cho 3 đều dư 1 => Hiệu p2 - q2 chia hết cho 3 (phần dư 1 sẽ triệt tiêu đối với phép trừ)
=> p2 - q2 chia hết cho cả 8 và 3, mà 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau => p2 - q2 chia hết cho 8x3 =24
b) Vì 2k luôn là số chẵn nên nếu k là số lẻ thì trong hai số a + k và a + 2k sẽ có một số chẵn và 1 số lẻ. Mà số chẵn lớn hơn 3 thì chia hết cho 2 => Không là số nguyên tố. Vậy k phải là số chẵn (tức là k chia hết cho 2).
Lý luận tương tự, k phải chia hết cho 3, vì nếu k chia 3 dư 1 hoặc 2 thì 2k chia cho 3 dư 2 hoặc 1 => Trong 3 số a, a +k, a +2k khi chia cho 3 chắc chắn có 1 số chia hết cho 3
(vì nếu a chia hết cho 3 thì trong 3 số đó, số đầu tiên là a chia hết cho 3;
nếu a chia 3 dư 1 thì a + k hoặc a + 2k phải có 1 số chia hết cho 3 vì trong 2 số k và 2k có 1 số chia cho 3 dư 1 và số kia chia cho 3 dư 2
nếu a chia 3 dư 2 thì a + k và a + 2k phải có 1 số chia hết cho 3 vì trong 2 số k và 2k có 1 số chia cho 3 dư 1 và số kia chia cho 3 dư 2).
Vậy k chia hết cho 2 và cho 3 => k chia hết cho 6.
9 tháng 9 2014
a) Số nguyên tố lớn hơn 3 thì không chia hết cho 8, 4 và cho 2. Một số chia cho 8 dư 0, 1, 2,3, 4, 5, 6,7 => Nếu số là nguyên tố lớn hơn 3 thì khi chia cho 8 phải dư 1 hoặc 3 hoặc 5 hoặc 7 (vì nếu số đó chia 8 dư 2 thì nó viết dạng 8k + 2 chia hết cho 2, tương tự vậy không thể chia cho 8 dư 4 và dư 6)=> Số nguyên tố bình phương lên chia cho 8 dư 1 (vì 12 chia 8 dư 1, 32 =9 chia 8 dư 1, 52 =25 chia 8 dư 1, 72 = 49 chia 8 dư 1).
Vậy cả p2 và q2 chia 8 đều dư 1 => Hiệu p2 - q2 chia hết cho 8 (vì trừ cho nhau phần dư sẽ triệt tiêu).
Tương tự vậy, số nguyên tố lớn hơn 3 thì khi chia cho 3 phải dư 1 hoặc dư 2 => Bình phương số đó khi chia cho 3 dư 1 ( vì 12 = 1 chia 3 dư 1; 22 =4 chia 3 dư 1) => p2 và q2 chia cho 3 đều dư 1 => Hiệu p2 - q2 chia hết cho 3 (phần dư 1 sẽ triệt tiêu đối với phép trừ)
=> p2 - q2 chia hết cho cả 8 và 3, mà 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau => p2 - q2 chia hết cho 8x3 =24
b) Vì 2k luôn là số chẵn nên nếu k là số lẻ thì trong hai số a + k và a + 2k sẽ có một số chẵn và 1 số lẻ. Mà số chẵn lớn hơn 3 thì chia hết cho 2 => Không là số nguyên tố. Vậy k phải là số chẵn (tức là k chia hết cho 2).
Lý luận tương tự, k phải chia hết cho 3, vì nếu k chia 3 dư 1 hoặc 2 thì 2k chia cho 3 dư 2 hoặc 1 => Trong 3 số a, a +k, a +2k khi chia cho 3 chắc chắn có 1 số chia hết cho 3
(vì nếu a chia hết cho 3 thì trong 3 số đó, số đầu tiên là a chia hết cho 3;
nếu a chia 3 dư 1 thì a + k hoặc a + 2k phải có 1 số chia hết cho 3 vì trong 2 số k và 2k có 1 số chia cho 3 dư 1 và số kia chia cho 3 dư 2
nếu a chia 3 dư 2 thì a + k và a + 2k phải có 1 số chia hết cho 3 vì trong 2 số k và 2k có 1 số chia cho 3 dư 1 và số kia chia cho 3 dư 2).
Vậy k chia hết cho 2 và cho 3 => k chia hết cho 6.
