Tìm tất cả các đa thức \(f\left(x\right)\in Z[x]\)khác không, thõa:
16f(x^2)=[f(x^2)], \(\forall x\in R\) (1)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
GH
20 tháng 6 2023
Ta có \(f\left(x\right)>0,\forall x\in\left(0;1\right)\)
\(\Leftrightarrow-x^2-2\left(m-1\right)x+2m-1>0,\forall x\left(0;1\right)\)
\(\Leftrightarrow-2m\left(x-1\right)>x^2-2x+1,\forall x\in\left(0;1\right)\) (*)
Vì \(x\in\left(0;1\right)\Rightarrow x-1< 0\) nên (*) \(\Leftrightarrow-2m< \dfrac{x^2-2x+1}{x-1}=x-1=g\left(x\right),\forall x\in\left(0;1\right)\)
\(\Leftrightarrow-2m\le g\left(0\right)=-1\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\)
PN
Phạm Ngọc Tấn
VIP
6 tháng 8 2023
1. Để tìm các đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện P(2014) = 2046 và P(x) = P(x^2 + 1) - 33 + 32, ∀x ≥ 0, ta có thể sử dụng phương pháp đệ quy. Bước 1: Xác định bậc của đa thức P(x). Vì không có thông tin về bậc của đa thức, chúng ta sẽ giả sử nó là một hằng số n. Bước 2: Xây dựng công thức tổng quát cho đa thức P(x). Với bậc n đã xác định, ta có: P(x) = a_n * x^n + a_{n-1} * x^{n-1} + ... + a_0 Bước 3: Áp dụng điều kiện để tìm các hệ số a_i. Thay x = 2014 vào biểu thức và giải phương trình: P(2014) = a_n * (2014)^n + a_{n-1} * (2014)^{n-1} + ... + a_0 = 2046 Giải phương trình này để tìm các giá trị của các hệ số. Bước 4: Áp dụng công thức tái lập để tính toán các giá trị tiếp theo của P(x): P(x) = P(x^2+1)-33+32 Áp dụng công thức này lặp lại cho đến khi đạt được kết quả cuối cùng. 2. Để tìm các đa thức P(x) ∈ Z[x] bậc n thỏa mãn điều kiện [P(2x)]^2 = 16P(x^2), ∀x ∈ R, ta có thể sử dụng phương pháp đệ quy tương tự như trên. Bước 1: Xác định bậc của đa thức P(x). Giả sử bậc của P(x) là n. Bước 2: Xây dựng công thức tổng quát cho P(x): P(x) = a_n * x^n + a_{n-1} * x^{n-1} + ... + a_0 Bước 3: Áp dụng điều kiện để tìm các hệ số a_i. Thay x = 2x vào biểu thức và giải phương trình: [P(2x)]^2 = (a_n * (2x)^n + a_{n-1} * (2x)^{n-1} + ... + a_0)^2 = 16P(x^2) Giải phương trình này để tìm các giá trị của các hệ số. Bước 4: Áp dụng công thức tái lập để tính toán các giá trị tiếp theo của P(x): [P(4x)]^2 = (a_n * (4x)^n + a_{n-1} * (4x)^{n-1} + ... + a_0)^2 = 16P(x^2) Lặp lại quá trình này cho đến khi đạt được kết quả cuối cùng.
Gọi \(f(x)\)= \(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\left[a_n\ne0;a_i\inℤ,i=1,2,...,n\right]\)
Ta có : \((1)\)\(16\left[a_nx^{2n}+a_{n-1}x^{2n-2}+...+a_1x^2+a_0\right]\)
\(=\left[a_n\left\{2x\right\}^n+a_{n-1}\left\{2x\right\}^{n-1}+...+a_1\left\{2x\right\}+a_0\right]^2\)
Đồng nhất hệ số của x2n ta có : \(16\cdot a_n=2^{2n}\cdot a^2_n\)\(\Rightarrow a_n=\frac{16}{4^n}\) do an \(\ne0\)
Mà \(a_n\inℤ\)nên n = 0,1,2
Với n = 0 , ta có : \(a_0=16\Rightarrow f(x)=16\forall x\inℝ\)
Với n = 1, ta có : \(a_1=4\Rightarrow f(x)=4x+a_0\)thay vào 1 ta có :
\(16\left[4x^2+a_0\right]=\left[8x+a_0\right]^2\Leftrightarrow16a_0=16a_0x+a^2_0\) \(\Leftrightarrow a_0=0\)do \(\forall x\). Vậy \(f(x)=4x\forall x\inℝ\)
Với n = 2 ta có : \(a_2=1\)nên \(f(x)=x^2+a_1x+a_0\)thay vào 1 ta có :
\(16\left[x^4+a_1x^2+a_0\right]=\left[\left\{2x\right\}^2+a_1\left\{2x\right\}+a_0\right]^2\)
\(\Leftrightarrow16\left[x^4+a_1x^2+a_0\right]=16x^4+16a_1x^2+\left[4a^2_1+8a_0\right]x^2+4a_1a_0x+a^2_0\)
Đồng nhất các hệ số ta được : \(a_1=a_0=0\)
Vậy \(f(x)=x^2\forall x\inℝ\)