K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

8 tháng 7 2019

https://olm.vn/hoi-dap/detail/223126660207.html?pos=512235459592

Giờ mình mới để ý , câu này có trong chuyên đề : Bất đẳng thức Cauchy (Cô si) của cô Nguyễn Linh Chi (ở phần dạng toán và hướng dẫn giải) (mình đã inbox link cho bạn rồi)

Còn đề bạn viết sai rồi nhé

5 tháng 2 2020

1) Trước hết ta đi chứng minh BĐT : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)  với \(a,b>0\) (1) 

Thật vậy : BĐT  (1) \(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)  ( luôn đúng )

Vì vậy BĐT (1) đúng.

Áp dụng vào bài toán ta có:

\(\frac{1}{4}\left(\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{a+c}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)

                                                                 \(=\frac{1}{4}\cdot\left[2.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Vậy ta có điều phải chứng minh !

5 tháng 2 2020

Bài 1 : 

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) với a , b > 0

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\\\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\\\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\end{cases}}\)

Cộng theo từng vế 

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)( đpcm)

26 tháng 8 2015

Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{a+b}=\frac{a+b}{ab}+\frac{2}{a+b}=a+b+\frac{2}{a+b}=\frac{a+b}{2}+\left(\frac{a+b}{2}+\frac{2}{a+b}\right)\)

\(\ge\sqrt{ab}+2\sqrt{\frac{a+b}{2}\cdot\frac{2}{a+b}}=1+2=3.\)   (ĐPCM)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 11 2017

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{b+c+c+a+c+a}=\frac{9}{3c+2a+b}\)

\(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{9}{a+c+a+b+a+b}=\frac{9}{3a+2b+c}\)

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{9}{a+b+b+c+b+c}=\frac{9}{3b+2c+a}\)

Cộng theo vế rồi rút gọn ta thu được

\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\geq 3\left(\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{3b+2c+a}+\frac{1}{3c+2a+b}\right)\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

4 tháng 11 2017

@Ace Legona bác giúp em với

8 tháng 8 2018

a,b,c phải dương thì đề bài mới đúng.

Ta có: 

       \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge3.3\)(vì a+b+c=3)

\(\Leftrightarrow1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+1+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+1\ge9\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\ge6\)(1)

Mặt khác, \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\forall x;y>0\)

Do đó bất đẳng thức (1) đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\)

Chúc bạn học tốt.

NV
19 tháng 3 2019

\(\frac{3}{a+2b}=\frac{3}{a+b+b}\le\frac{3}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right)\)

Tương tự: \(\frac{3}{b+2c}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)\) ; \(\frac{3}{c+2a}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{c}+\frac{2}{a}\right)\)

Cộng vế với vế:

\(3\left(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\right)\le\frac{1}{3}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

12 tháng 7 2020

Bài làm:

Áp dụng Cauchy dạng cộng mẫu ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b}\left(1\right)\)

\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{b+2c}\left(2\right)\)

\(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ge\frac{9}{c+2a}\left(3\right)\)

Cộng vế 3 bất đẳng thức (1);(2); và (3) ta được:

\(3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\left(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\left(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

Học tốt!!!!

8 tháng 5 2018

Bài này đăng nhiều rồi bạn vào câu hỏi tương tự tìm

8 tháng 5 2018

Sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu

Ta có: \(\frac{a+1}{b^2+1}=\frac{ab^2+a+b^2+1-ab^2-b^2}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{b\left(a+1\right)}{2}\) 

Tương tự \(\frac{b+1}{c^2+1}\ge b+1-\frac{c\left(b+1\right)}{2}\)

               \(\frac{c+1}{a^2+1}\ge c+1-\frac{a\left(c+1\right)}{2}\) 

\(\Rightarrow VT\ge3-\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

27 tháng 7 2017

Ta có

\(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{ab^2+b^2}{b^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{ab^2+b^2}{2b}=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\)   (1)

Tương tự  \(\frac{b+1}{c^2+1}\ge\left(b+1\right)-\frac{bc+c}{2}\)   (2)

và  \(\frac{c+1}{a^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{ca+a}{2}\)   (3)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế:

\(VT\ge\left(a+b+c+3\right)-\frac{\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)}{2}\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3}{2}=3\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)