Question

[Trần Thanh Phương]

Lại một số bài bất đẳng thức nữa, bạn nào làm được câu nào cứ làm nhé!

Bài 1: Cho \(a,b,c>0\)thỏa \(a+b+c=10\). Tìm \(minA=a^2\cdot b^3\cdot c^5\)

Bài 2: Tìm \(minA=\left(a+1\right)^2+\left(\frac{a^2}{a+1}+2\right)^2\)

Bài 3: Tìm \(minA=a+\frac{2}{a^2}\)với \(a>0\)

Bài 4: Cho \(x,y,z>0\)thỏa \(xyz=1\)

Tìm \(minA=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)

Bài 5: Cho \(a,b,c>0\)thỏa \(a+2b+3c\ge20\)

Tìm \(minA=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}\)

Bài 6: Cho \(a,b,c>0\)thỏa \(ab\ge12;bc\ge8\)

Chứng minh rằng : \(\left(a+b+c\right)+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)+\frac{8}{abc}\ge\frac{121}{12}\)

Answer 1

[tthnew]

Bài 5:Dự đoán dấu = xảy ra khi a = 2; b=3;c=4. Ta có hướng giải như sau:

\(A=\left(\frac{3}{4}a+\frac{3}{a}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{9}{2b}\right)+\left(\frac{1}{4}c+\frac{4}{c}\right)+\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+\frac{3}{4}c\)

Áp dụng BĐT AM-GM,ta được:

\(A\ge2\sqrt{\frac{3}{4}a.\frac{3}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{9}{2b}}+2\sqrt{\frac{1}{4}c.\frac{4}{c}}+\frac{1}{4}\left(a+2b+3c\right)\)

\(\ge3+3+2+\frac{1}{4}.20=13\)

Dấu "=" xảy ra khi a = 2; b=3;c=4

VẬy A min = 13 khi a = 2; b=3;c=4

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 1: Bạn xem lại đề, với điều kiện như đã cho thì A có max chứ không có min

Bài 2:
\(A=(a+1)^2+\left(\frac{a^2}{a+1}+2\right)^2=(a+1)^2+\left(\frac{a^2+2a+2}{a+1}\right)^2\)

\(=(a+1)^2+\left(\frac{(a+1)^2+1}{a+1}\right)^2=(a+1)^2+\left(a+1+\frac{1}{a+1}\right)^2\)

\(=t^2+(t+\frac{1}{t})^2=2t^2+\frac{1}{t^2}+2\) (đặt \(t=a+1)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(2t^2+\frac{1}{t^2}\geq 2\sqrt{2}\Rightarrow A\geq 2\sqrt{2}+2\)

Vậy $A_{\min}=2\sqrt{2}+2$. Dấu "=" xảy ra khi \(a=\pm \frac{1}{\sqrt[4]{2}}-1\)