cho 0< a < b ≤ 2 và 2ab ≤ 2b+a . Cmr: \(a^2+b^2\le5\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
Y
0
PQ
0
MM
1
29 tháng 5 2018
a + b + 2a2 + 2b2 ≥ \(2ab+2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)
⇔ a + b + 2a2 + 2b2 - \(2ab-2a\sqrt{b}-2b\sqrt{a}\) ≥ 0
⇔ a2 - 2ab + b2 + a2 - 2a\(\sqrt{b}+b+b^2-2b\sqrt{a}+a\) ≥ 0
⇔ ( a - b)2 + ( a - \(\sqrt{b}\) )2 + ( b - \(\sqrt{a}\))2 ≥ 0 ( Luôn đúng )
HP
14 tháng 5 2017
1, hiển nhiên a+b>0
có a^2+2ab+2b^2-2b=8=>(a+b)^2=8-(b^2-2b)=9-(b-1)^2 </ 9 => a+b </ 3
VL
0
11 tháng 11 2018
Ta viết lại BĐT cần chứng minh như sau:
\(\frac{a^2+9}{2a^2+\left(3-a\right)^2}+\frac{b^2+9}{2b^2+\left(3-b\right)^2}+\frac{c^2+9}{2c^2+\left(3-c\right)^2}\le5\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+9}{3a^2-6a+9}+\frac{b^2+9}{3b^2-6b+9}+\frac{c^2+9}{3c^2-6c+9}\le5\)
Thật vậy ta sẽ chứng minh: \(\frac{a^2+9}{3a^2-6a+9}\le\frac{a+4}{3}\)
\(\Leftrightarrow.............................\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a+3\right)\ge0\) ( Luôn đúng với a > 0 )
Tương tự ta có: \(\frac{b^2+9}{3b^2-6b+9}\le\frac{b+4}{3}\)
\(\frac{c^2+9}{3c^2-6c+9}\le\frac{c+4}{3}\)
Cộng từng vế các BĐT trên ta có:
\(VT\le\frac{a+b+c+12}{3}=\frac{15}{3}=5\) \(\left(Q.E.D\right)\)
LD
1
CB
2 tháng 5 2017
từ gt \(\Rightarrow\)abc>0 => (2-a)(2-b)(2-c)>0 =>
8+2(ab+bc+ca)−4(a+b+c)−abc≥0 => 2(ab+bc+ca) \(\ge\)4 + abc \(\ge\)4
=> (a+b+c)^2≥4+a2+b2+c2 => a^2+b^2+c^2 \(\le\) 5
