a, Chứng minh với mọi a.b ta có : 2(a2 b2 ) $\ge$( a b )2 b, x,y,x dương thỏa mãn $\sqrt{x}$ $\sqrt{y}$ $\sqrt{z}$= 1 . Chứng minh rằng : $\sqrt{\frac{xy}{x y 2z}}$ \(\sqrt{\frac{yz}{...

NP

Ngọc Phạm

3 tháng 6 2019

a, Chứng minh với mọi a.b ta có : 2(a2 + b2 ) $\ge$( a + b )2 b, x,y,x dương thỏa mãn $\sqrt{x}$+ $\sqrt{y}$+ $\sqrt{z}$= 1 . Chứng minh rằng : $\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}$+ $\sqrt{\frac{yz}{y+z+2x}}$+ $\sqrt{\frac{zx}{z+x+2y}}$$\le$$\frac{1}{2}$Dấu "=" xảy ra khi...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

PT

Phạm Thị Thùy Linh

3 tháng 6 2019

$a,$$2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2$

$\Rightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2$

$\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab$

$\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0$

$\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0$ ( luôn đúng )

$\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2$

Đúng(0)

LT

Lê Trường Lân

15 tháng 5 2020

Bài 1: Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0, chứng minh rằng: $2\sqrt{\frac{x}{y+z}}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\ge5$Bài 2: Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0, z = max {x, y, z), chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\ge4$Bài 3:Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0 và x + y + z = 2,chứng...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

1

LT

Lê Trường Lân

15 tháng 5 2020

Bài 3 thì $\le1$

Bài 4 thì $\ge\frac{3}{4}$ nhé

Đúng(0)

TT

Trương Tiền Phương

16 tháng 1 2020

cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 3.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sqrt{xy+x+y}}+\frac{1}{\sqrt{yz+y+z}}+\frac{1}{\sqrt{zx+z+x}}\ge$$\sqrt{3}$

#Toán lớp 9

1

N

Nyatmax

16 tháng 1 2020

$VT\ge\frac{9}{\Sigma_{cyc}\sqrt{xy+x+y}}\ge\frac{9}{\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(2x+2y+2z+xy+yz+zx\right)}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left[6+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}}=\sqrt{3}$

Đúng(0)

F

fghj

22 tháng 6 2020

cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1 chứng minh rằng $\frac{x}{\sqrt{x+\sqrt{yz}}}+\frac{y}{\sqrt{y+\sqrt{zx}}}+\frac{z}{\sqrt{z+\sqrt{xy}}}\ge\frac{3}{2}$

#Toán lớp 9

0

TC

Thầy Cao Đô

Giáo viên VIP

8 tháng 4 2021

a. Cho $x$, $y$ là hai số thực bất kì. Chứng minh $x^2 - xy + y^2 \ge \dfrac13(x^2+xy+y^2).$

b. Cho $x$, $y$, $z$ là ba số thực dương thỏa mãn $\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z = 2$. Chứng minh

$\dfrac{x\sqrt x}{x +\sqrt{xy} + y} + \dfrac{y\sqrt y}{y +\sqrt{yz} + z} + \dfrac{z\sqrt z}{z +\sqrt{zx} + x} \ge \dfrac23.$

#Toán lớp 9

16

PT

Phạm Thành Đông

8 tháng 4 2021

a) Giả sử $x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)$

$\Leftrightarrow3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\frac{1}{3}.3\left(x^2+xy+y^2\right)$

$\Leftrightarrow3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge x^2+xy+y^2$

$\Leftrightarrow3x^2-3xy+3y^2-x^2-xy-y^2\ge0$

$\Leftrightarrow2x^2-4xy+2y^2\ge0$

$\Leftrightarrow2\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0$

$\Leftrightarrow2\left(x-y\right)^2\ge0$(luôn đúng với mọi $x,y\in R$).

Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow x=y$.

Vậy $x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)$với $x,y\in R$.

Đúng(0)

PT

Phạm Thành Đông

8 tháng 4 2021

Đặt $A=\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}\left(x,y,z>0\right)$

Và đặt $B=\frac{y\sqrt{y}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{z\sqrt{z}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{x\sqrt{x}}{z+\sqrt{zx}+x}\left(x,y,z>0\right)$

Đặt $\sqrt{x}=m,\sqrt{y}=n,\sqrt{z}=p\left(m,n,p>0\right)$thì theo đề bài : $m+n+p=2$

Lúc đó:

$A=\frac{m^2.m}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^2.n}{n^2+np+p^2}+\frac{p^2.p}{p^2+pm+m^2}$

$A=\frac{m^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3}{p^2+pm+m^2}$

Và $B=\frac{n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{m^3}{p^2+pm+m^2}$

Xét hiệu $A-B=\frac{m^3-n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3-p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3-m^3}{p^2+pm+m^2}$

$\Leftrightarrow A-B=\frac{\left(m-n\right)\left(m^2+mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}+\frac{\left(n-p\right)\left(n^2+np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}$$+\frac{\left(p-m\right)\left(p^2+pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}$

$\Leftrightarrow A-B=\left(m-n\right)+\left(n-p\right)+\left(p-m\right)$

$\Leftrightarrow A-B=m-n+n-p+p-m=0$

$\Leftrightarrow A=B$

Xét $A+B=\frac{m^3+n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3+p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3+m^3}{p^2+pm+m^2}$

$\Leftrightarrow A+A=2A=\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+m+n^2}+\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}$$\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}$

Theo câu a), ta có $x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)$với $x,y\in R$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{1}{3}\left(1\right)$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y$

Áp dụng bất đẳng thức (1) (với $m,n>0$), ta được:

$\frac{m^2-mn+n^2}{m^2+mn+n^2}\ge\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}\ge\frac{m+n}{3}\left(2\right)$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow m=n>0$

Chứng minh tương tự, ta được:

$\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}\ge\frac{n+p}{3}\left(3\right)$

Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow n=p>0$

$\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}\ge\frac{p+m}{2}\left(4\right)$

Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow p=m>0$

Từ $\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)$, ta được:

$\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}+\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}$$+\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2-pm+m^2}\ge\frac{m+n}{3}+\frac{n+p}{3}+\frac{p+m}{3}$

$\Leftrightarrow2A\ge\frac{m+n+n+p+p+m}{3}$

$\Leftrightarrow2A\ge\frac{2\left(m+n+p\right)}{3}$

$\Leftrightarrow A\ge\frac{m+n+p}{3}$

$\Leftrightarrow A\ge\frac{2}{3}$(vì $m+n+p=2$) (điều phải chứng minh).

Dấu bằng xảy ra.

$\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=n=p>0\\m+n+p=2\end{cases}}\Leftrightarrow m=n=p=\frac{2}{3}$$\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{4}{9}$

Vậy nếu $x,y,z>0$ và $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=2$thì: $\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}\ge\frac{2}{3}$.

Đúng(0)

DT

Dương Tũn

16 tháng 8 2015

Câu hỏi hay

Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$, Chứng minh rằng:

$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

#Toán lớp 9

6

TP

Trần Phúc Khang

29 tháng 2 2020

BĐT <=> $\sqrt{\frac{x+yz}{xyz}}+\sqrt{\frac{y+xz}{xyz}}+\sqrt{\frac{z+xy}{xyz}}\ge1+\sqrt{\frac{1}{xy}}+\sqrt{\frac{1}{yz}}+\sqrt{\frac{1}{xz}}$

Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$

Khi đó $a+b+c=1$

BĐT <=>$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\ge1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}$

Ta có $\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{\left(a+\sqrt{bc}\right)^2}=a+\sqrt{bc}$

Khi đó $VT\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=VP$(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=3

Đúng(0)

TL

Tran Le Khanh Linh

1 tháng 3 2020

BĐT cho tương đương với

$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

Với $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z};a+b+c=1$

Ta có:

$\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}$

$=\sqrt{a^2+a\left(b+c\right)+bc}\ge\sqrt{a^2+2a\sqrt{bc}+bc}=a+\sqrt{bc}$

Tương tự

$\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca};\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}$

Từ đó ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=3

Đúng(0)

DK

Đặng Kim Anh

5 tháng 2 2020

Cho 3 số thực dương x , y , z thỏa mãn $x+y+z\ge3$

Chứng minh rằng: $\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}$

#Toán lớp 9

5

TT

Thanh Tùng DZ

5 tháng 2 2020

Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :

$\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}$

Mà $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le x+y+z$

$\Rightarrow$$\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = $\frac{3}{2}$

Đúng(0)

TT

Thanh Tùng DZ

5 tháng 2 2020

nhầm sửa x = y = z = 1 nha

Đúng(0)

HQ

Hoàng Quốc Tuấn

3 tháng 4 2020

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=1

Chứng minh rằng

$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3$

#Toán lớp 9

2

T

truongkhanhlinhbong

3 tháng 4 2020

helloo

Đúng(0)

TP

Trần Phúc Khang

3 tháng 4 2020

Ta có $1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(x+y\right)$

Khi đó BĐT <=>

$\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+...\right)$

<=> $\frac{x+y+z}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}\right)^3$

<=>$\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}\right)^3$

<=> $\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\right)^3$(1)

Xét $\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)$

<=> $9\left[xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)+2xyz\right]\ge8\left(xy\left(x+y\right)+xz\left(x+z\right)+yz\left(y+z\right)+3xyz\right)$

<=> $xy\left(y+x\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\ge6xyz$

<=> $x\left(y-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2+y\left(x-z\right)^2\ge0$luôn đúng

Khi đó (1) <=>

$\left(x+y+z\right).\frac{2\sqrt{2}}{3}.\sqrt{x+y+z}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+....\right)^3$

<=> $\sqrt{2\left(x+y+z\right)}\ge\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}$

Áp dụng buniacopxki cho vế phải ta có

$\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(3-xy-yz-xz\right)}$

$=\sqrt{2\left(x+y+z\right)}$

=> BĐT được CM

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Đúng(1)

PT

phan tuấn anh

8 tháng 3 2016

cho x;y;z là các số dương thỏa mãn x+y+z=1.Chứng minh $\sqrt{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt{2z^2+zx+2x^2}\ge\sqrt{5}$

#Toán lớp 9

3

TG

Thầy Giáo Toán

9 tháng 3 2016

Ta chứng minh điều sau: Nếu $a,b>0$ thì $2a^2+ab+2b^2\ge\frac{5\left(a+b\right)^2}{4}.$ Thực vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$8a^2+4ab+8b^2\ge5\left(a^2+2ab+b^2\right)\Leftrightarrow3\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(a-b\right)^2\ge0.$

Quay lại bài toán, áp dụng nhận xét ta được

$\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\frac{5\left(x+y\right)}{2},\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\frac{5\left(y+z\right)}{2},\sqrt{2z^2+zx+2x^2}\ge\frac{5\left(z+x\right)}{2}.$

Cộng các bất đẳng thức lại ta sẽ được $VT\ge\frac{5}{2}>\sqrt{5}.$

Đúng(0)

LD

Lưu Đức Mạnh

8 tháng 3 2016

mn ơi ko OLM ko có khóa học lớp 9 àh

Đúng(0)

NT

Nguyễn Thu Ngà

15 tháng 4 2019

cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$ chứng minh $\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}+\sqrt{\frac{yz}{y+z+2x}}+\sqrt{\frac{zx}{z+x+2y}}\le\frac{1}{2}$

#Toán lớp 9

1

TM

Trần Minh Hoàng

11 tháng 7 2020

Đặt $\left(a,b,c\right)=\left(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}\right)$.

Xét 4 số m, n, p, q. Ta sẽ chứng minh $\left(m+n+p+q\right)^2\le4\left(m^2+n^2+p^2+q^2\right)$ (*)

Thật vậy:

(*) $\Leftrightarrow2\left(mn+np+pq+qm+mp+nq\right)\le3\left(m^2+n^2+p^2+q^2\right)$

$\Leftrightarrow\left(m-n\right)^2+\left(n-p\right)^2+\left(p-q\right)^2+\left(q-m\right)^2+\left(m-p\right)^2+\left(n-q\right)^2\ge0$ (luôn đúng).

Từ đó: $\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}\right)^2=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{z}\right)^2\le4\left(x+y+z+z\right)=4\left(x+y+2z\right)$

$\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}\le2\sqrt{x+y+2z}$

$\Leftrightarrow\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}=\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x+y+2z}}\le\frac{2\sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}}=\frac{2ab}{a+b+2c}\le\frac{1}{2}ab\frac{4}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{2}ab\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)$

Tương tự, ta có:

$\sum\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}\le\frac{1}{2}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{2}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{c+a}\right)=\frac{1}{2}\sum a=\frac{1}{2}$

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP