K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
3 tháng 5 2019

Đặt \(x=\left[x\right]+\left\{x\right\}\)

\(\Rightarrow\left[3x\right]=\left[3\left[x\right]+3\left\{x\right\}\right]=3\left[x\right]+\left[3\left\{x\right\}\right]\)

\(\left[x+\frac{2}{3}\right]=\left[\left[x\right]+\left\{x\right\}+\frac{2}{3}\right]=\left[x\right]+\left[\left\{x\right\}+\frac{2}{3}\right]\)

\(\left[x+\frac{1}{3}\right]=\left[x\right]+\left[\left\{x\right\}+\frac{1}{3}\right]\)

\(\Rightarrow\left[x+\frac{2}{3}\right]+\left[x+\frac{1}{3}\right]+\left[x\right]=3\left[x\right]+\left[\left\{x\right\}+\frac{2}{3}\right]+\left[\left\{x\right\}+\frac{1}{3}\right]\)

Ta cần chứng minh \(\left[3\left\{x\right\}\right]=\left[\left\{x\right\}+\frac{2}{3}\right]+\left[\left\{x\right\}+\frac{1}{3}\right]\)

- Nếu \(\frac{2}{3}\le\left\{x\right\}< 1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\le\left[3\left\{x\right\}\right]< 3\\1\le\left[\left\{x\right\}+\frac{2}{3}\right]< 2\\1\le\left[\left\{x\right\}+\frac{1}{3}\right]< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[3\left\{x\right\}\right]=2\\\left[\left\{x\right\}+\frac{2}{3}\right]=1\\\left[\left\{x\right\}+\frac{1}{3}\right]=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[3\left\{x\right\}\right]=\left[\left\{x\right\}+\frac{2}{3}\right]+\left[\left\{x\right\}+\frac{1}{3}\right]\)

- Nếu \(\frac{1}{3}\le\left\{x\right\}< \frac{2}{3}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1\le\left[3\left\{x\right\}\right]< 2\\1\le\left[\left\{x\right\}+\frac{2}{3}\right]< 2\\0\le\left[\left\{x\right\}+\frac{1}{3}\right]< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[3\left\{x\right\}\right]=1\\\left[\left\{x\right\}+\frac{2}{3}\right]=1\\\left[\left\{x\right\}+\frac{1}{3}\right]=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[3\left\{x\right\}\right]=\left[\left\{x\right\}+\frac{2}{3}\right]+\left[\left\{x\right\}+\frac{1}{3}\right]\)

- Nếu \(0< \left\{x\right\}< \frac{1}{3}\) tương tự trên ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left[3\left\{x\right\}\right]=0\\\left[\left\{x\right\}+\frac{2}{3}\right]=0\\\left[\left\{x\right\}+\frac{1}{3}\right]=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[3\left\{x\right\}\right]=\left[\left\{x\right\}+\frac{2}{3}\right]+\left[\left\{x\right\}+\frac{1}{3}\right]\)

3 tháng 11 2016

Đặt \(a=x,b=\frac{1}{x}\) thì ta có ab = 1

\(a-b=x-\frac{1}{x}=\frac{x^2-1}{x}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x}\). Vì \(x>1\) nên ta có \(a-b>0\)

\(3\left(a^2-b^2\right)< 2\left(a^3-b^3\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a-b\right)\left(a+b\right)< 2\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+ab+b^2\right)>\frac{3}{2}\left(a+b\right)\) (chia cả hai vế cho \(a-b>0\))

\(\Leftrightarrow\left(a^2-\frac{3}{2}a+\frac{9}{16}\right)+\left(b^2-\frac{3}{2}b+\frac{9}{16}\right)+\frac{7}{8}>0\)(vì ab = 1)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{3}{4}\right)^2+\left(b-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{7}{8}>0\) (luôn đúng)

Vậy có đpcm.

3 tháng 11 2016

koooooooiuyfdfguhgfswaxrwgszdsxrfdtfg

NV
8 tháng 3 2022

a.

- Với \(m=\pm1\Rightarrow-6x=1\Rightarrow x=-\dfrac{1}{6}\) có nghiệm

Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\)

- Với \(\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\Rightarrow1-m^2>0\)

\(f\left(0\right)=-1< 0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[\left(1-m\right)^2x^3-6x-1\right]\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(1-m^2-\dfrac{6}{m^2}-\dfrac{1}{m^3}\right)=-\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;0\right)\)

- Với \(-1< m< 1\Rightarrow1-m^2< 0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left[\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\right]=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left[\left(1-m^2\right)-\dfrac{6}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}\right]=+\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;+\infty\right)\)

Vậy pt đã cho có nghiệm với mọi m

NV
8 tháng 3 2022

b. Để chứng minh pt này có đúng 1 nghiệm thì cần áp dụng thêm kiến thức 12 (tính đơn điệu của hàm số). Chỉ bằng kiến thức 11 sẽ ko chứng minh được

c. 

Đặt \(f\left(x\right)=\left(m-1\right)\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)^3+2x-5\)

Do \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên \(f\left(x\right)\) liên tục trên R

\(f\left(2\right)=4-5=-1< 0\)

\(f\left(3\right)=6-5=1>0\)

\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(3\right)< 0\) với mọi m

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (2;3) với mọi m

Hay pt đã cho luôn luôn có nghiệm

15 tháng 3 2020

i) (x - 1)(5x + 3) = (3x - 8)(x - 1)

<=> 5x2 + 3x - 5x - 3 = 3x2 - 3x - 8x + 8

<=> 5x2 - 2x - 3 = 3x2 - 11x + 8

<=> 5x2 - 2x - 3 - 3x2 + 11x - 8 = 0

<=> 2x2 + 9x - 11 = 0

<=> 2x2 + 11x - 2x - 11 = 0

<=> x(2x + 11) - (2x + 11) = 0

<=> (x - 1)(2x + 11) = 0

<=> x - 1 = 0 hoặc 2x + 11 = 0

<=> x = 0 hoặc x = -11/2

m) 2x(x - 1) = x2 - 1

<=> 2x2 - 2x = x2 - 1

<=> 2x2 - 2x - x2 + 1 = 0

<=> x2 - 2x + 1 = 0

<=> (x - 1)2 = 0

<=> x - 1 = 0

<=> x = 1

n) (2 - 3x)(x + 11) = (3x - 2)(2 - 5x)

<=> 2x + 22 - 3x2 - 33x = 6x - 15x2 - 4 + 10x

<=> -31x + 22 - 3x2 = 16x - 15x2 - 4

<=> 31x - 22 + 3x2 + 16x - 15x2 - 4 = 0

<=> 47x - 18 - 12x2 = 0

<=> -12x2 + 47x - 26 = 0

<=> 12x2 - 47x + 26 = 0

<=> 12x2 - 8x - 39x + 26 = 0

<=> 4x(3x - 2) - 13(3x - 2) = 0

<=> (4x - 13)(3x - 2) = 0

<=> 4x - 13 = 0 hoặc 3x - 2 = 0

<=> x = 13/4 hoặc x = 2/3

15 tháng 3 2020

i) (x - 1)(5x + 3) = (3x - 8)(x - 1)

<=> 5x2 + 3x - 5x - 3 = 3x2 - 3x - 8x + 8

<=> 5x2 - 2x - 3 = 3x2 - 11x + 8

<=> 5x2 - 2x - 3 - 3x2 + 11x - 8 = 0

<=> 2x2 + 9x - 11 = 0

<=> 2x2 + 11x - 2x - 11 = 0

<=> x(2x + 11) - (2x + 11) = 0

<=> (x - 1)(2x + 11) = 0

<=> x - 1 = 0 hoặc 2x + 11 = 0

<=> x = 0 hoặc x = -11/2

m) 2x(x - 1) = x2 - 1

<=> 2x2 - 2x = x2 - 1

<=> 2x2 - 2x - x2 + 1 = 0

<=> x2 - 2x + 1 = 0

<=> (x - 1)2 = 0

<=> x - 1 = 0

<=> x = 1

n) (2 - 3x)(x + 11) = (3x - 2)(2 - 5x)

<=> 2x + 22 - 3x2 - 33x = 6x - 15x2 - 4 + 10x

<=> -31x + 22 - 3x2 = 16x - 15x2 - 4

<=> 31x - 22 + 3x2 + 16x - 15x2 - 4 = 0

<=> 47x - 18 - 12x2 = 0

<=> -12x2 + 47x - 26 = 0

<=> 12x2 - 47x + 26 = 0

<=> 12x2 - 8x - 39x + 26 = 0

<=> 4x(3x - 2) - 13(3x - 2) = 0

<=> (4x - 13)(3x - 2) = 0

<=> 4x - 13 = 0 hoặc 3x - 2 = 0

<=> x = 13/4 hoặc x = 2/3

30 tháng 5 2016

PT cho tđuong với: (x^2 +9). (x^2 + 9x) = 22 (x-1)^2
Đặt t = [x^2 + 9 + x^2 + 9x]/2 hay t= x^2 + (9x + 9)/2. 
Khi đó: x^2 + 9 = t - 9(x-1)/2 
x^2 + 9x = t + 9(x-1)/2 
PT cho trở thành: [t - 9(x-1)/2]. [t + 9(x-1)/2] = 22(x-1)^2 
<=> t^2 -(81/4)(x-1)^2 = 22(x-1)^2 
<=> t^2 = (169/4)(x-1)^2 
<=> t = 13/2. (x-1) hoặc t= -13/2. (x-1) 
<=> 2t =13x -13 hoặc 2t =-13x + 13 
hay 2x^2 + 9x+ 9 =13x -13 hoặc 2x^2 + 9x +9 = -13x +13 
hay 2x^2 - 4x +22 =0 hoặc 2x^2 + 22x - 4 =0 

PT bậc hai thứ nhất vô nghiệm, PT bậc hai thứ hai cho ta hai nghiệm là: 
x= (-11 +căn(129))/2 , x= (-11 - căn(129))/2. 
 

30 tháng 5 2016

cách 2:đặt x-1=k

pt trở thành (k+1)(k2+2k+10)(k+10)=22k2

<=>(k2+2k+10)(k2+11k+10)=22k2

tự làm tiếp

3 tháng 6 2019

Em thử ạ!Em không chắc đâu.Hơi quá sức em rồi

Ta có: \(VT=\Sigma\frac{x^3}{z+y+yz+1}=\Sigma\frac{x^3}{z+y+\frac{1}{x}+1}\)

\(=\Sigma\frac{x^4}{xz+xy+1+x}=\frac{x^4}{xy+xz+x+1}+\frac{y^4}{yz+xy+y+1}+\frac{z^4}{zx+yz+z+1}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,suy ra:

\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)+3}\)

\(\ge\frac{\left(\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)+\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2+3}\) (áp dụng BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3};ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\))

Đặt \(t=x+y+z\ge3\sqrt{xyz}=3\) Dấu "=" xảy ra khi x = y = z

Ta cần chứng minh: \(\frac{\frac{t^4}{9}}{\frac{2}{3}t^2+t+3}\ge\frac{3}{4}\Leftrightarrow\frac{t^4}{9\left(\frac{2}{3}t^2+t+3\right)}=\frac{t^4}{6t^2+9t+27}\ge\frac{3}{4}\)(\(t\ge3\))

Thật vậy,BĐT tương đương với: \(4t^4\ge18t^2+27t+81\)

\(\Leftrightarrow3t^4-18t^2-27t+t^4-81\ge0\)

Ta có: \(VT\ge3t^4-18t^2-27t+3^4-81\)

\(=3t^4-18t^2-27t\).Cần chứng minh\(3t^4-18t^2-27t\ge0\Leftrightarrow3t^4\ge18t^2+27t\)

Thật vậy,chia hai vế cho \(t\ge3\),ta cần chứng minh \(3t^3\ge18t+27\Leftrightarrow3t^3-18t-27\ge0\)

\(\Leftrightarrow3\left(t^3-27\right)-18\left(t-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(3t^2+9t+27\right)-18\left(t-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(3t^2+9t+9\right)\ge0\)

BĐT hiển nhiên đúng,do \(t\ge3\) và \(3t^2+9t+9=3\left(t+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\ge\frac{9}{4}>0\)

Dấu "=" xảy ra khi t = 3 tức là \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\xyz=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Chứng minh hoàn tất

3 tháng 6 2019

Em sửa chút cho bài làm ngắn gọn hơn.

Khúc chứng minh: \(4t^4\ge18t^2+27t+81\)

\(\Leftrightarrow4t^4-18t^2-27t-81\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(4t^3+12t^2+18t+27\right)\ge0\)

BĐT hiển nhiên đúng do \(t\ge3\Rightarrow\hept{\begin{cases}t-3\ge0\\4t^3+12t^2+18t+27>0\end{cases}}\)

Còn khúc sau y chang :P Lúc làm rối quá nên không nghĩ ra ạ!

17 tháng 4 2019

Ý c là thực hiện phép tính nha mọi người

NV
20 tháng 4 2019

a/ \(\left(2n^3-5n^2+1\right):\left(2n-1\right)=n^2-2n-1\)

b/ \(x\ne0;\pm2\)

\(\left(\frac{x^2}{x\left(x^2-4\right)}-\frac{6}{3\left(x-2\right)}+\frac{1}{x+2}\right):\left(\frac{x^2-4+10-x^2}{x+2}\right)\)

\(=\left(\frac{x}{x^2-4}-\frac{2\left(x+2\right)}{x^2-4}+\frac{x-2}{x^2-4}\right):\left(\frac{6}{x+2}\right)\)

\(=\left(\frac{x-2x-4+x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\right).\left(\frac{x+2}{6}\right)\)

\(=\frac{-6}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}.\frac{\left(x+2\right)}{6}=-\frac{1}{x-2}=\frac{1}{2-x}\)

c/

\(\left(3x-1\right)^2+2\left(3x-1\right)\left(3x+4\right)+\left(3x+4\right)^2\)

\(=\left(3x-1+3x+4\right)^2\)

\(=\left(6x+3\right)^2\)

31 tháng 12 2016

\(\left(\frac{12}{5}\right)^x+\left(\frac{15}{4}\right)^x\ge2\sqrt{\left(\frac{12}{5}\right)^x.\left(\frac{15}{4}\right)^x}=2.3^x;\left(\frac{20}{3}\right)^x+\left(\frac{12}{5}\right)^x\ge2.4^x\)

Cộng các vế tương ứng => đpcm

31 tháng 12 2016

@phynit

@Nguyễn Huy Thắng

@...