Question

[~Mưa_Rain~]

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Xét hai điểm M trên AD’ và N trên DB sao cho  AM= DN= k (0< k <a
√2 ). Gọi P là trung điểm B’C’.

a) Tính cos của góc giữa hai đường thẳng AP và BC’.

b) Tính thể tích khối tứ diện APBC’.

c) Chứng minh MN luôn song song với mặt phẳng (A’D’CB) khi k thay đổi.

d) Tìm k để đoạn MN ngắn nhất.

e) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB, đồng thời MN song song với A’C.

# Cs nầy có trong sbt toán đại nâng cao nhé!#

Cảm mơn m.n giải dùm ạ!

~LucMilk~

Answer 1

[~Mưa_Rain~]

Milk lộn toán hình nhé!

Answer 2

[_____Teexu_____ Cosplayerr]

Ta chọn hệ toạ độ Oxyz có gốc là đỉnh A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA’ (h.105).

Khi đó :

         $\begin{array}{c}A=\left(0;0;0\right)\\ B=\left(a;0;0\right)\\ D=\left(0;a;0\right)\\ C=\left(a;a;0\right)\end{array}$  $\begin{array}{c}{A}^{\prime }=\left(0;0;a\right)\\ B^{\prime }=\left(a;0;a\right)\\ D^{\prime }=\left(0;a;a\right)\\ C^{\prime }=\left(a;a;a\right)\end{array}$

          $P=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$

a) Ta có $\overrightarrow{AP}=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$

                       $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\left(0;a;a\right).$

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $AP$ và $B{C}^{\prime }$ ta có :

         $\cos \alpha =\frac{\left|0+\frac{a^2}{2}+a^2\right|}{\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}+a^2}.\sqrt{a^2+a^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \alpha ={45}^o$

b) Ta có : $\overrightarrow{AP}=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$, $\overrightarrow{AB}=\left(a;0;0\right),\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(a;a;a)$

$\begin{array}{c}\Rightarrow \left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}\frac{a}{2}& a\\ 0& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}a& a\\ 0& a\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}a& \frac{a}{2}\\ a& 0\end{array}\right|\right)\\ =\left(0;a^2;–\frac{a^2}{2}\right)\\ \Rightarrow \left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right].\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=0+a^3–\frac{a^3}{2}=\frac{a^3}{2}.\end{array}$

Vậy $V_{APB{C}^{\prime }}=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right].\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|=\frac{1}{6}.\frac{a^3}{2}=\frac{a^3}{12}.$ 

QUẢNG CÁO

c) Mặt phẳng $\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right)$ song song với trục Oy nên có phương trình :

       $px+qz+n=0$ $\left(n\ne 0,p^2+q^2>0\right).$

Vì mặt phẳng này đi qua $A^{\prime },B,C$ nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp$\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right)$ là $x+z–a=0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow{n}=\left(1;0;1\right).$

Từ giả thiết $M\in A{D}^{\prime },N\in DB;AM=DN=k$, ta tính được :

                      $M=\left(0;\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{k}{\sqrt{2}}\right),N=\left(\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{a\sqrt{2}-k}{\sqrt{2}};0\right).$

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}};–\frac{k}{\sqrt{2}}\right).$

Ta có $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n}=1.\frac{k}{\sqrt{2}}+0\left(\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}}\right)+1.\left(–\frac{k}{\sqrt{2}}\right)=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}\perp \overrightarrow{n}.$

Rõ ràng $N\notin mp\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right).$ Suy ra MN song song với mp$\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right).$

d) Ta có $M{N}^2={\left(\frac{k}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(–\frac{k}{\sqrt{2}}\right)}^2.$

$\begin{array}{c}=3k^2–2a\sqrt{2}k+a^2\\ =3\left[{\left(k–\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)}^2+\frac{a^2}{9}\right]\ge 3\frac{a^2}{9}=\frac{a^2}{3}.\end{array}$

$M{N}^2$ nhỏ nhất bằng $\frac{a^2}{3}$ khi $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ (thoả mãn điều kiện $0<k<a\sqrt{2}$ ).

Vậy MN ngắn nhất bằng $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ khi $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$.

e) Khi MN ngắn nhất thì $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{–a}{3}\right).$

Ta lại có $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\left(0;a;a\right),\overrightarrow{DB}=(a;–a;0)$ nên $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=0,\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{DB}=0.$

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB.

Ta chọn hệ toạ độ Oxyz có gốc là đỉnh A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA’ (h.105).

Khi đó :

         A=(0;0;0)B=(a;0;0)D=(0;a;0)C=(a;a;0)A=(0;0;0)B=(a;0;0)D=(0;a;0)C=(a;a;0)  A′=(0;0;a)B′=(a;0;a)D′=(0;a;a)C′=(a;a;a)A′=(0;0;a)B′=(a;0;a)D′=(0;a;a)C′=(a;a;a)

          P=(a;a2;a)P=(a;a2;a)

a) Ta có −−→AP=(a;a2;a)AP→=(a;a2;a)

                       −−→BC′=(0;a;a).BC′→=(0;a;a).

Gọi αα là góc giữa hai đường thẳng APAP và BC′BC′ ta có :

         cosα=∣∣0+a22+a2∣∣√a2+a22+a2.√a2+a2=1√2⇒α=45ocos⁡α=|0+a22+a2|a2+a22+a2.a2+a2=12⇒α=45o

b) Ta có : −−→AP=(a;a2;a)AP→=(a;a2;a), −−→AB=(a;0;0),−−→AC′=(a;a;a)AB→=(a;0;0),AC′→=(a;a;a)

⇒[−−→AP,−−→AB]=(∣∣∣a2a00∣∣∣;∣∣∣aa0a∣∣∣;∣∣∣aa2a0∣∣∣)=(0;a2;–a22)⇒[−−→AP,−−→AB].−−→AC′=0+a3–a32=a32.⇒[AP→,AB→]=(|a2a00|;|aa0a|;|aa2a0|)=(0;a2;–a22)⇒[AP→,AB→].AC′→=0+a3–a32=a32.

Vậy VAPBC′=16∣∣∣[−−→AP,−−→AB].−−→AC′∣∣∣=16.a32=a312.VAPBC′=16|[AP→,AB→].AC′→|=16.a32=a312. 

QUẢNG CÁO

c) Mặt phẳng (A′D′CB)(A′D′CB) song song với trục Oy nên có phương trình :

       px+qz+n=0px+qz+n=0 (n≠0,p2+q2>0).(n≠0,p2+q2>0).

Vì mặt phẳng này đi qua A′,B,CA′,B,C nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp(A′D′CB)(A′D′CB) là x+z–a=0x+z–a=0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là →n=(1;0;1).n→=(1;0;1).

Từ giả thiết M∈AD′,N∈DB;AM=DN=kM∈AD′,N∈DB;AM=DN=k, ta tính được :

                      M=(0;k√2;k√2),N=(k√2;a√2−k√2;0).M=(0;k2;k2),N=(k2;a2−k2;0).

Suy ra −−−→MN=(k√2;a√2−2k√2;–k√2).MN→=(k2;a2−2k2;–k2).

Ta có −−−→MN.→n=1.k√2+0(a√2−2k√2)+1.(–k√2)=0MN→.n→=1.k2+0(a2−2k2)+1.(–k2)=0

⇒−−−→MN⊥→n.⇒MN→⊥n→.

Rõ ràng N∉mp(A′D′CB).N∉mp(A′D′CB). Suy ra MN song song với mp(A′D′CB).(A′D′CB).

d) Ta có MN2=(k√2)2+(a√2−2k√2)2+(–k√2)2.MN2=(k2)2+(a2−2k2)2+(–k2)2.

=3k2–2a√2k+a2=3⎡⎣(k–a√23)2+a29⎤⎦≥3a29=a23.=3k2–2a2k+a2=3[(k–a23)2+a29]≥3a29=a23.

MN2MN2 nhỏ nhất bằng a23a23 khi k=a√23k=a23 (thoả mãn điều kiện 0<k<a√20<k<a2 ).

Vậy MN ngắn nhất bằng a√33a33 khi k=a√23k=a23.

e) Khi MN ngắn nhất thì k=a√23k=a23 Khi đó −−−→MN=(a3;a3;–a3).MN→=(a3;a3;–a3).

Ta lại có −−→AD′=(0;a;a),−−→DB=(a;–a;0)AD′→=(0;a;a),DB→=(a;–a;0) nên −−−→MN.−−→AD′=0,−−−→MN.−−→DB=0.MN→.AD′→=0,MN→.DB→=0.

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB.

Mặt khác −−→A′C=(a;a;–a)=3−−−→MNA′C→=(a;a;–a)=3MN→, chứng tỏ −−−→MNMN→, −−→A′CA′C→ cùng phương. Do N∉A′CN∉A′C  nên MN//A′C.Ta chọn hệ toạ độ Oxyz có gốc là đỉnh A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA’ (h.105).

Khi đó :

         A=(0;0;0)B=(a;0;0)D=(0;a;0)C=(a;a;0)A=(0;0;0)B=(a;0;0)D=(0;a;0)C=(a;a;0)  A′=(0;0;a)B′=(a;0;a)D′=(0;a;a)C′=(a;a;a)A′=(0;0;a)B′=(a;0;a)D′=(0;a;a)C′=(a;a;a)

          P=(a;a2;a)P=(a;a2;a)

a) Ta có −−→AP=(a;a2;a)AP→=(a;a2;a)

                       −−→BC′=(0;a;a).BC′→=(0;a;a).

Gọi αα là góc giữa hai đường thẳng APAP và BC′BC′ ta có :

         cosα=∣∣0+a22+a2∣∣√a2+a22+a2.√a2+a2=1√2⇒α=45ocos⁡α=|0+a22+a2|a2+a22+a2.a2+a2=12⇒α=45o

b) Ta có : −−→AP=(a;a2;a)AP→=(a;a2;a), −−→AB=(a;0;0),−−→AC′=(a;a;a)AB→=(a;0;0),AC′→=(a;a;a)

⇒[−−→AP,−−→AB]=(∣∣∣a2a00∣∣∣;∣∣∣aa0a∣∣∣;∣∣∣aa2a0∣∣∣)=(0;a2;–a22)⇒[−−→AP,−−→AB].−−→AC′=0+a3–a32=a32.⇒[AP→,AB→]=(|a2a00|;|aa0a|;|aa2a0|)=(0;a2;–a22)⇒[AP→,AB→].AC′→=0+a3–a32=a32.

Vậy VAPBC′=16∣∣∣[−−→AP,−−→AB].−−→AC′∣∣∣=16.a32=a312.VAPBC′=16|[AP→,AB→].AC′→|=16.a32=a312. 

QUẢNG CÁO

c) Mặt phẳng (A′D′CB)(A′D′CB) song song với trục Oy nên có phương trình :

       px+qz+n=0px+qz+n=0 (n≠0,p2+q2>0).(n≠0,p2+q2>0).

Vì mặt phẳng này đi qua A′,B,CA′,B,C nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp(A′D′CB)(A′D′CB) là x+z–a=0x+z–a=0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là →n=(1;0;1).n→=(1;0;1).

Từ giả thiết M∈AD′,N∈DB;AM=DN=kM∈AD′,N∈DB;AM=DN=k, ta tính được :

                      M=(0;k√2;k√2),N=(k√2;a√2−k√2;0).M=(0;k2;k2),N=(k2;a2−k2;0).

Suy ra −−−→MN=(k√2;a√2−2k√2;–k√2).MN→=(k2;a2−2k2;–k2).

Ta có −−−→MN.→n=1.k√2+0(a√2−2k√2)+1.(–k√2)=0MN→.n→=1.k2+0(a2−2k2)+1.(–k2)=0

⇒−−−→MN⊥→n.⇒MN→⊥n→.

Rõ ràng N∉mp(A′D′CB).N∉mp(A′D′CB). Suy ra MN song song với mp(A′D′CB).(A′D′CB).

d) Ta có MN2=(k√2)2+(a√2−2k√2)2+(–k√2)2.MN2=(k2)2+(a2−2k2)2+(–k2)2.

=3k2–2a√2k+a2=3⎡⎣(k–a√23)2+a29⎤⎦≥3a29=a23.=3k2–2a2k+a2=3[(k–a23)2+a29]≥3a29=a23.

MN2MN2 nhỏ nhất bằng a23a23 khi k=a√23k=a23 (thoả mãn điều kiện 0<k<a√20<k<a2 ).

Vậy MN ngắn nhất bằng a√33a33 khi k=a√23k=a23.

e) Khi MN ngắn nhất thì k=a√23k=a23 Khi đó −−−→MN=(a3;a3;–a3).MN→=(a3;a3;–a3).

Ta lại có −−→AD′=(0;a;a),−−→DB=(a;–a;0)AD′→=(0;a;a),DB→=(a;–a;0) nên −−−→MN.−−→AD′=0,−−−→MN.−−→DB=0.MN→.AD′→=0,MN→.DB→=0.

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB.

Mặt khác −−→A′C=(a;a;–a)=3−−−→MNA′C→=(a;a;–a)=3MN→, chứng tỏ −−−→MNMN→, −−→A′CA′C→ cùng phương. Do N∉A′CN∉A′C  nên MN//A′C.

Mặt khác $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\left(a;a;–a\right)=3\overrightarrow{MN}$, chứng tỏ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{A^{\prime }C}$ cùng phương. Do $N\notin A^{\prime }C$  nên $MN//A^{\prime }C.Ta\; chọn\; hệ\; toạ\; độ\; Oxyz\; có\; gốc\; là\; đỉnh\; A,\; tia\; Ox\; chứa\; AB,\; tia\; Oy\; chứa\; AD\; và\; tia\; Oz\; chứa\; AA’\; (h.105).$

Khi đó :

         $\begin{array}{c}A=\left(0;0;0\right)\\ B=\left(a;0;0\right)\\ D=\left(0;a;0\right)\\ C=\left(a;a;0\right)\end{array}$  $\begin{array}{c}{A}^{\prime }=\left(0;0;a\right)\\ B^{\prime }=\left(a;0;a\right)\\ D^{\prime }=\left(0;a;a\right)\\ C^{\prime }=\left(a;a;a\right)\end{array}$

          $P=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$

a) Ta có $\overrightarrow{AP}=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$

                       $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\left(0;a;a\right).$

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $AP$ và $B{C}^{\prime }$ ta có :

         $\cos \alpha =\frac{\left|0+\frac{a^2}{2}+a^2\right|}{\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}+a^2}.\sqrt{a^2+a^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \alpha ={45}^o$

b) Ta có : $\overrightarrow{AP}=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$, $\overrightarrow{AB}=\left(a;0;0\right),\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(a;a;a)$

$\begin{array}{c}\Rightarrow \left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}\frac{a}{2}& a\\ 0& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}a& a\\ 0& a\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}a& \frac{a}{2}\\ a& 0\end{array}\right|\right)\\ =\left(0;a^2;–\frac{a^2}{2}\right)\\ \Rightarrow \left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right].\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=0+a^3–\frac{a^3}{2}=\frac{a^3}{2}.\end{array}$

Vậy $V_{APB{C}^{\prime }}=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right].\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|=\frac{1}{6}.\frac{a^3}{2}=\frac{a^3}{12}.$ 

QUẢNG CÁO

c) Mặt phẳng $\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right)$ song song với trục Oy nên có phương trình :

       $px+qz+n=0$ $\left(n\ne 0,p^2+q^2>0\right).$

Vì mặt phẳng này đi qua $A^{\prime },B,C$ nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp$\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right)$ là $x+z–a=0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow{n}=\left(1;0;1\right).$

Từ giả thiết $M\in A{D}^{\prime },N\in DB;AM=DN=k$, ta tính được :

                      $M=\left(0;\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{k}{\sqrt{2}}\right),N=\left(\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{a\sqrt{2}-k}{\sqrt{2}};0\right).$

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}};–\frac{k}{\sqrt{2}}\right).$

Ta có $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n}=1.\frac{k}{\sqrt{2}}+0\left(\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}}\right)+1.\left(–\frac{k}{\sqrt{2}}\right)=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}\perp \overrightarrow{n}.$

Rõ ràng $N\notin mp\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right).$ Suy ra MN song song với mp$\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right).$

d) Ta có $M{N}^2={\left(\frac{k}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(–\frac{k}{\sqrt{2}}\right)}^2.$

$\begin{array}{c}=3k^2–2a\sqrt{2}k+a^2\\ =3\left[{\left(k–\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)}^2+\frac{a^2}{9}\right]\ge 3\frac{a^2}{9}=\frac{a^2}{3}.\end{array}$

$M{N}^2$ nhỏ nhất bằng $\frac{a^2}{3}$ khi $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ (thoả mãn điều kiện $0<k<a\sqrt{2}$ ).

Vậy MN ngắn nhất bằng $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ khi $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$.

e) Khi MN ngắn nhất thì $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{–a}{3}\right).$

Ta lại có $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\left(0;a;a\right),\overrightarrow{DB}=(a;–a;0)$ nên $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=0,\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{DB}=0.$

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB.

Mặt khác $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\left(a;a;–a\right)=3\overrightarrow{MN}$, chứng tỏ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{A^{\prime }C}$ cùng phương. Do $N\notin A^{\prime }C$  nên $MN//A^{\prime }C.$