Question

[Kuruishagi zero]

1.Cho tam giác ABC vuông tạo A. Vẽ đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA

a)C/M Góc BAD = goc ADB

b)C/M: AS là tia p/g của góc HAC

c)Vẽ DK vuông góc AC ( k thuộc AC ). C/m AK = AH

d)C/M AB + AC < BC + 2AH

2.Cho tam giác ABC vuông ở C có góc A = 60. Tia p/g của góc BAC cắt BC ở E. Kẻ EK vuông góc vs AM ( K thuộc BC ). Kẻ BD vuông góc vs tia AE ( D thuộc tia AE).CMR

a) AC = AK và AE vuông góc  vs CK

b)KA = KB

c)EB > AC

d) Ba đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm

Answer 1

[Lê Hồ Trọng Tín]

1

a)Xét \(\Delta\)ABD:AB=BD=>\(\Delta\)ABD cân tại B=>BAD=BDA

b)Xét \(\Delta\)AHD:HAD+HDA=90(do AHD=90) (1)

Lại có:BAH+HAD+DAC=90(do bằng góc BAC) (2)

Mặt khác:BAD=BDA (chứng minh trên) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra :HAD=DAC=>AD là tia phân giác góc HAC

c)Xét \(\Delta\)ADH và \(\Delta\)ADK:

                AHD=AKD=90

                AD chung

                HAD=DAK(AD là tia phân giác góc HAC)

=>\(\Delta\)ADH=\(\Delta\)ADK(cạnh huyền-góc nhọn)

d)Xét \(\Delta\)ABH:AB<BH+AH

   Xét \(\Delta\)ACH:AC<AH+CH

Suy ra:AB+AC<BC+2AH

Answer 2

[Lê Hồ Trọng Tín]

2.

a)Xét \(\Delta\)AKE và \(\Delta\)ACE:

                 AKE=ACE=90

                 AE:chung

                 EAK=EAC

=>\(\Delta\)AKE=\(\Delta\)ACE(cạnh huyền-góc nhọn)=>AC=AK=>\(\Delta\)AKC cân tại A=>AE là đường phân giác đồng thời là đường vuông góc=>AC=AK và AE\(\perp\)CK

b)Xét \(\Delta\)ABC:C=90;A=60=>B=30

   AE là đường phân giác góc BAC=>KAE=1/2.BAC=30

Suy ra:\(\Delta\)BAE cân tại E=>EK là đường vuông góc đồng thời là đường trung tuyến=>KA=KB

c)\(\Delta\)BAE cân tại E=>EB=EA

   Xét ACE:C=90=>EA>AC

Mà:EB=EA(chứng minh trên)

Suy ra:EB>AC

d)Xét \(\Delta\)ADB và\(\Delta\)BCA:

               ADB=BCA=90

              AB:chung

              BAD=ABC(cùng bằng 30)

=>\(\Delta\)ADB=\(\Delta\)BCA(cạnh huyền-góc nhọn)=>AD=BC

Gọi G là giao điểm của BD và AC,ta cần chứng minh G;E;K thẳng hàng

Xét \(\Delta\)ABG có 2 đường cao AD và BC cắt nhau tại E 

Nên E là trực tâm hay GE\(\perp\)AB

Mà EK\(\perp\)AB

Nên: GE trùng EK hay G;E;K thẳng hàng 

Suy ra AC,BD,EK đồng quy tại G