Chứng minh 1/1^2+1/3^2+1/5^2+......+1/99^2 <5/4
Giúp mk mới nha 😢😢😢🙏🙏🙏🍡🍡🍡
Ai nhanh chóng nhất là 3 tick lun nha
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 8 2020
a) Ta có: \(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{100}}\)
\(\Leftrightarrow2\cdot A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}\)
\(\Leftrightarrow2\cdot A-A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{100}}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=1-\frac{1}{2^{100}}\)
HG
0
23 tháng 2 2021
\(\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}+...+\dfrac{1}{100^2}>\dfrac{1}{4\cdot5}+\dfrac{1}{5\cdot6}+...+\dfrac{1}{100\cdot101}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{100}-\dfrac{1}{101}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{101}>\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{5}\left(1\right)\)
\(\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{3\cdot4}+\dfrac{1}{4\cdot5}+...+\dfrac{1}{99\cdot100}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{100}< \dfrac{1}{3}\left(2\right)\) Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{1}{5}< \dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}+...+\dfrac{1}{99^2}+\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{3}\)
3 tháng 9 2017
a>
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{100^2}\)=1/4+1/10000
ta có 1/4<1/2(vì 2 đề bài muốn chứng minh tổng đó nhỏ 1 thì chúng ta phải xét xem có bao nhiêu lũy thừa hoặc sht thì ta sẽ lấy 1 : cho số số hạng )
1/100^2<1/2
=>A<1
HQ
0
NN
2
6 tháng 5 2017
Ta thấy :
\(\dfrac{1}{4^2}>\dfrac{1}{4.5}\)
\(\dfrac{1}{5^2}>\dfrac{1}{5.6}\)
..............
\(\dfrac{1}{99^2}>\dfrac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow\) \(K>\dfrac{1}{4.5}+\dfrac{1}{5.6}+.....+\dfrac{1}{99.100}\)
Ta có công thức \(\dfrac{a}{b.c}=\dfrac{a}{c-b}.\left(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)\)
Dựa vào công thức ta có :
\(\dfrac{1}{4.5}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\)
\(\dfrac{1}{5.6}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}\)
.......................
\(\dfrac{1}{99.100}=\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)
\(\Rightarrow\) \(K>\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}+......+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)
\(\Leftrightarrow\) \(K>\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{100}\)
\(\Rightarrow K>\dfrac{6}{25}>\dfrac{1}{5}\Rightarrow dpcm\) (1)
Ta có :
\(\dfrac{1}{4^2}< \dfrac{1}{3.4}\)
\(\dfrac{1}{5^2}< \dfrac{1}{4.5}\)
................
\(\dfrac{1}{99^2}< \dfrac{1}{98.99}\)
Dựa vào công thức \(\dfrac{a}{b.c}=\dfrac{a}{c-b}.\left(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)\) ta có :
\(K< \dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{4.5}+......+\dfrac{1}{98.99}\)
\(\Rightarrow\) \(K< \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+.......+\dfrac{1}{98}-\dfrac{1}{99}\)
\(\Rightarrow\) \(K< \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{99}\)
Vậy \(K< \dfrac{32}{99}< \dfrac{1}{3}\Rightarrow dpcm\) (2)
(1) ; (2) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{5}< K< \dfrac{1}{3}\)
Ai thấy đúng thì ủng hộ nha !!!
6 tháng 5 2017
Công thức tổng quát: \(\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}< \dfrac{1}{n^2}< \dfrac{1}{\left(n-1\right)n}\)
=>\(\dfrac{1}{4.5}+\dfrac{1}{5.6}+...+\dfrac{1}{99.100}< K< \dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{4.5}+...+\dfrac{1}{98.99}\)
=>\(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}< K< \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{98}-\dfrac{1}{99}\)
=>\(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{100}< K< \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{100}\)
=>\(\dfrac{1}{4}< K< \dfrac{1}{3}\)
=>\(\dfrac{1}{5}< K< \dfrac{1}{3}\left(do\dfrac{1}{4}>\dfrac{1}{5}\right)\)
\(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+....+\frac{1}{99^2}\)
\(< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+.....+\frac{1}{98\cdot99}\)
\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+....+\frac{1}{98}-\frac{1}{99}\)
\(=1-\frac{1}{99}\)
\(< 1\)
\(< \frac{5}{4}\)