Tìm x, y thuộc Q sao cho x+y và 1/x+1/y đều là số nguyên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LT
2
25 tháng 5 2017
Do x+y thuộc z=> x và y đều là số nguyên
Mà 1/x + 1/y thuộc Z thì x = y= 1 hoặc x=y=-1
1 tháng 2 2019
Do \(x,y\inℚ;x,y\ne0\)nên đặt \(x=\frac{a}{b},y=\frac{c}{d}\)trong đó \(a,b,c,d\inℤ;a,b\ne0;c,d>0\)và \(\left(a;b\right)=\left(c;d\right)=1\)
Ta có:\(x+y=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\inℤ\)
\(\Rightarrow ab+bc⋮bd\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ad+bc⋮b\\ad+bc⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}d⋮b\\b⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow b=d\left(1\right)\)vì \(\left(a;b\right)=\left(c;d\right)=1\)
Lại có:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{b}{a}+\frac{d}{c}=\frac{bc+ad}{ac}\inℤ\)
\(\Rightarrow bc+ad⋮ac\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}bc+ad⋮a\\bc+ad⋮c\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}c⋮a\\a⋮c\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a=c\left(2\right)\)vì \(\left(a;b\right)=\left(c;d\right)=1\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\frac{a}{b}\in\left\{\frac{c}{d},-\frac{c}{d}\right\}\Rightarrow x\in\left\{y,-y\right\}\)
Với \(x=y=\frac{a}{b}\)thì khi đó:
\(x+y=\frac{2a}{b}\inℤ\Rightarrow2⋮b\Rightarrow b\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2b}{a}\Rightarrow2⋮a\Rightarrow a\in\left\{1;-1;-2;2\right\}\)
\(\Rightarrow x=y=\frac{a}{b}=\pm1=\pm2=\pm\frac{1}{2}\)
Nếu x=-y thì:
\(x+y=0\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=0\left(L\right)\)
Vậy các cặp số \(\left(x;y\right)\)cần tìm là:\(\left(1;1\right);\left(2;2\right);\left(-1;-1\right);\left(-2;-2\right);\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right);\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)
5 tháng 2 2019
Dòng đầu tiên chưa chặt chẽ. Giải thích: c, d >0?
Trường hợp 2 tại sao loại ? x=-y thì x+y=0 là số nguyên và 1/x +1/y cũng là số nguyên.
Lần sau làm bài nhớ khảo lại bài nhé!:)
Theo đề bài,đặt \(x+y=k\inℤ\) (1)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\left(x+y\right).\frac{1}{xy}=k.\frac{1}{xy}\)
Do k nguyên (theo (1)) nên để \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\) nguyên thì \(\frac{1}{xy}\) nguyên
Nên \(xy\inƯ\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\)
Suy ra \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right),\left(-1;-1\right),\left(1;-1\right),\left(-1;1\right)\)
Đúng không ta?
ơ,t sai rồi=( nếu làm như t sẽ bị thiếu nghiệm,chẵn hạn x =y = 2 hoặc x = 2 ; y = -2=.Ai có cách khác giúp với ạ!