a)Chứng tỏ rằng: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) với mọi giá trị dương của a,b,x,y
b) Chứng tỏ rằng: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\) với a,b,c dương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
1 tháng 8 2020
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
27 tháng 7 2020
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 2 2020
a/ Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow3a^2-3ab+3b^2\ge a^2+ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
b/ \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^2.ab.b^2}}=a-\frac{a+b}{3}=\frac{2a}{3}-\frac{b}{3}\)
Tương tự: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{2b}{3}-\frac{c}{3}\) ; \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{2c}{3}-\frac{a}{3}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
16 tháng 5 2020
Bài 1: diendantoanhoc.net
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\) BĐT cần chứng minh trở thành
\(\frac{x}{\sqrt{3zx+2yz}}+\frac{x}{\sqrt{3xy+2xz}}+\frac{x}{\sqrt{3yz+2xy}}\ge\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{5x}\cdot\sqrt{3y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{5y}\cdot\sqrt{3z+2x}}\ge\frac{3}{5}\)
Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(_{cyc}\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}\ge2\)\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(\frac{x}{3x+2y+5z}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x\left(3x+2y+5z\right)+y\left(5x+3y+2z\right)+z\left(2x+5y+3z\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+7\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{5\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]}=\frac{3}{5}\)
16 tháng 5 2020
Bổ sung bài 1:
BĐT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 2 2020
a/ Bạn cứ khai triển biến đổi tương đương thôi (mà làm biếng lắm)
b/ Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(VT=\frac{x^3yz}{y+z}+\frac{y^3zx}{z+x}+\frac{xyz^3}{x+y}=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{xyz}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
27 tháng 2 2020
cảm ơn bạn nhưng nạ có thể giải nốt cậu a hộ mình đc ko
PG
3 tháng 2 2020
\(3-P=1-\frac{x}{x+1}+1-\frac{y}{y+1}+1-\frac{z}{z+1}\)
\(=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{1+3}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
NT
2 tháng 3 2020
b) với mọi a,b,c ϵ R và x,y,z ≥ 0 có :
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\left(1\right)\)
Dấu ''='' xảy ra ⇔\(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Thật vậy với a,b∈ R và x,y ≥ 0 ta có:
\(\frac{a^2}{x}=\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\left(2\right)\)
⇔\(\frac{a^2y}{xy}+\frac{b^2x}{xy}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
⇔\(\frac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
⇔\(\frac{a^2y+b^2x}{xy}.\left(x+y\right)xy\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}.\left(x+y\right)xy\)
⇔\(\left(a^2y+b^2x\right)\left(x+y\right)\ge\left(a+b\right)^2xy\)
⇔\(a^2xy+b^2x^2+a^2y^2+b^2xy\ge a^2xy+2abxy+b^2xy\)
⇔\(b^2x^2+a^2y^2-2abxy\ge0\)
⇔\(\left(bx-ay\right)^2\ge0\)(luôn đúng )
Áp dụng BĐT (2) có:
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Dấu ''='' xảy ra ⇔\(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Ta có:
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}
\)
= \(\frac{1}{a^2}.\frac{1}{ab+ac}+\frac{1}{b^2}.\frac{1}{bc+ac}+\frac{1}{c^2}.\frac{1}{ac+bc}\)
=\(\frac{\frac{1}{a^2}}{ab+ac}+\frac{\frac{1}{b^2}}{bc+ab}+\frac{\frac{1}{c^2}}{ac+bc}\)
Áp dụng BĐT (1) ta có:
\(\frac{\frac{1}{a^2}}{ab+ac}+\frac{\frac{1}{b^2}}{bc+ab}+\frac{\frac{1}{c^2}}{ac+bc}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}++\frac{1}{c}\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)
Mà abc=1⇒\(\left\{{}\begin{matrix}ab=\frac{1}{c}\\bc=\frac{1}{a}\\ac=\frac{1}{b}\end{matrix}\right.\)
\(\frac{\frac{1}{a^2}}{ab+ac}+\frac{\frac{1}{b^2}}{bc+ac}+\frac{\frac{1}{c^2}}{ac+bc}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}\)
\(\frac{\frac{1}{a^2}}{ab+ac}+\frac{\frac{1}{b^2}}{bc+ac}+\frac{\frac{1}{c^2}}{ac+bc}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3\sqrt[3]{\frac{1}{1}}=3\)( BĐT cosi )
⇒\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\)
⇒\(\frac{\frac{1}{a^2}}{ab+ac}+\frac{\frac{1}{b^2}}{bc+ac}+\frac{\frac{1}{c^2}}{ac+bc}\ge\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)
Vậy \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Chúc bạn học tốt !!!
a/
Biến đổi tương đương:
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(a^2y+b^2x\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2xy+b^2x^2+a^2y^2+b^2xy\ge a^2xy+b^2xy+2abxy\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT ban đầu đúng (đpcm), dấu "=" xảy ra khi \(ay=bx\)
b/
Mở rộng cho 3 số, ta có \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Vậy \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với x, y, z dương
Mặt khác ta luôn có: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\) \(\forall a,b,c\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2\ge0\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
Áp dụng:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{\left(a^2\right)^2}{ab}+\frac{\left(b^2\right)^2}{bc}+\frac{\left(c^2\right)^2}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+ac+bc}\ge\frac{\left(ab+ac+bc\right)^2}{ab+ac+bc}=ab+ac+bc\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)