Question

[Nguyễn Hữu Kiệt]

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a va cạnh bên bằng . a) Tính thể tích của hình chóp đã cho. b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. c) Gọi A’ và C’ lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và SC. Chứng minh rằng hai hình chóp A’.ABCD và C’.CBAD bằng nhau.

Answer 1

[ΠHâΠ]

Câu 1.

a) Gọi O=AC∩BD⇒SO⊥(ABCD).O=AC∩BD⇒SO⊥(ABCD).
Ta có ABCD là hình vuông cạnh a nên AC=BD=a2–√⇒AO=a2√2.AC=BD=a2⇒AO=a22.
Xét tam giác vuông SOA có: SO=SA2−OA2−−−−−−−−−√=2a2−a22−−−−−−−√=a6√2.SO=SA2−OA2=2a2−a22=a62.

SABCD=a2⇒VS.ABCD=13SO.SABCD=13a6–√2.a2=a36–√6.SABCD=a2⇒VS.ABCD=13SO.SABCD=13a62.a2=a366.

Gọi A’ là trung điểm của SA.
Trong (SAC) qua A’ kẻ đường thẳng vuông góc với SA cắt SO tại I.
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD.
Dễ thấy 

ΔSA′I đồng dạng ΔSOA(g.g)⇒SASI=SOSA′⇒SI=SA.SA′SO=a2–√.a2√2a6√2=a6–√3=RΔSA′I đồng dạng ΔSOA(g.g)⇒SASI=SOSA′⇒SI=SA.SA′SO=a2.a22a62=a63=R

Ta có A’C’ // (ABCD) ⇒d(A′;(ABCD))=d(C′;(ABCD))⇒d(A′;(ABCD))=d(C′;(ABCD))
⇒VA′.ABCD=VC′.CBAD.⇒VA′.ABCD=VC′.CBAD.
Vậy hai khối chóp A’.ABCD và C’.CBAD bằng nhau.