Question

[Nguyễn Ngô Minh Trí]

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) , đường cao AH ( H thuộc BC ) ; BD là đường phân giác của góc ABC ( D thuộc AC ) , BD cắt AH tại M

a) CM tam giác ABH đồng dạng tam giác CAB ; tam giác BAM đồng dạng tam giác BCD

b) CM \(\frac{AB}{AD}=\frac{CB}{CD}vàAB.AM=BC.HM\)

c) Trường hợp có BC = 3AB , CM \(S_{ABC}=36.S_{BHM}\)

Answer 1

[Nguyễn Thị Thảo Vy]

a) C/M ΔABH ∼ ΔCBA, ΔBAM ∼ ΔBCD

Xét ΔABH và ΔCBA, ta có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^0\left(gt\right)\)

\(\widehat{B}:chung\)

Vậy ...................................

Xét ΔBAM và ΔBCD, ta có:

\(\widehat{ABM}=\widehat{CBD}\) (BD phân giác)

\(\widehat{BAM}=\widehat{BCD}\) ( cùng phụ với \(\widehat{HAC}\))

Vậy ......................................

b) C/M \(\frac{AB}{AD}=\frac{CB}{CD}\) và AB.AM = BC.HM

Ta có BD phân giác \(\widehat{B}\) (gt)

⇒ \(\frac{AB}{AD}=\frac{CB}{CD}\) (T/C đường phân giác)

Ta có BM phân giác \(\widehat{B}\) (do M∈BD)

⇒ \(\frac{AM}{HM}=\frac{AB}{BH}\) (T/C đường phân giác)

Mà \(\frac{AB}{BH}=\frac{BC}{AB}\) (do ΔABH ∼ ΔCBA)

⇒ \(\frac{AM}{HM}=\frac{BC}{AB}\)

Vậy AB.AM = BC.HH

TẠM THỜI MÌNH GIẢI a VỚI b NHA, c GIÀI SAU

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Từ câu b ta có:

\(AB.AM=BC.HM\Rightarrow\frac{AM}{HM}=\frac{BC}{AB}=3\Rightarrow AM=3HM\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{HM}=\frac{AM+HM}{HM}=\frac{4HM}{HM}=4\Rightarrow AH=4HM\)

Lại có:

\(\Delta ABH\sim\Delta CAB\Rightarrow\frac{BH}{AB}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{AB^2}{3AB}=\frac{AB}{3}\)

\(AB=\frac{1}{3}BC\Rightarrow BH=\frac{1}{9}BC\Rightarrow BC=9BH\)

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}.4HM.9BH=36.\left(\frac{1}{2}HM.BH\right)=36.S_{BHM}\)