Cho \(\Delta ABC\)nhọn, đường cao BD, CE cắt nhau tại H.a) Chứng minh rằng AD.AC = AE.AB và \(\widehat{ABC}\)= \(\widehat{ADE}\)b) Chứng minh rằng \(\Delta HED\)và \(\Delta HBC\)đồng dạngc)Chứng minh...

0

MT

Mai Thanh Hoàng

5 tháng 5 2017

Cho \(\Delta ABC\) nhọn có hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H

a) Chứng minh \(\Delta ABD\)đồng dạng \(\Delta ACE\), rồi suy ra AE.AB=AD.AC

b) Chứng minh hai góc ADE và ABC bằng nhau

c) Chứng minh nếu \(\widehat{A}=60^0\) thì \(S_{ABC}=4.S_{ADE}\)

0

NH

Ngô Huyền Changg

12 tháng 8 2020

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:

a) ΔEHB đồng dạng ΔDHC

b) ΔHED đồng dạng ΔHBC

c) ΔADE đồng dạng ΔABC

d) BD.BH+CH.CE=BC²

2

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

12 tháng 8 2020

a) Xét ΔEHB vuông tại E và ΔDHC vuông tại D có

\(\widehat{EHB}=\widehat{DHC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔEHB∼ΔDHC(góc nhọn)

b) Ta có: ΔEHB∼ΔDHC(cmt)

\(\Leftrightarrow\frac{HE}{HD}=\frac{HB}{HC}\)(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(\frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}\)

Xét ΔHED và ΔHBC có

\(\frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}\)(cmt)

\(\widehat{EHD}=\widehat{BHC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHED∼ΔHBC(c-g-c)

c) Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

\(\widehat{DAB}\) chung

Do đó: ΔADB∼ΔAEC(g-g)

\(\Leftrightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\)(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)

Xét ΔADE và ΔABC có

\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)(cmt)

\(\widehat{DAE}\) chung

Do đó: ΔADE∼ΔABC(c-g-c)

d) Gọi K là giao điểm của AH và BC

Xét ΔABC có

BD là đường cao ứng với cạnh AC(gt)

CE là đường cao ứng với cạnh AB(gt)

BD\(\cap\)CE={H}

Do đó: H là trực tâm của ΔABC(Định lí ba đường cao của tam giác)

⇔AH⊥BC

⇔AK⊥BC(AH\(\cap\)BC={K})

Xét ΔBKH vuông tại K và ΔBDC vuông tại D có

\(\widehat{DBC}\) chung

Do đó: ΔBKH∼ΔBDC(góc nhọn)

\(\Leftrightarrow\frac{BK}{BD}=\frac{BH}{BC}\)(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(BK\cdot BC=BH\cdot BD\)

Xét ΔCKH vuông tại K và ΔCEB vuông tại E có

\(\widehat{ECB}\) chung

Do đó: ΔCKH∼ΔCEB(g-g)

\(\Leftrightarrow\frac{CK}{CE}=\frac{CH}{CB}\)(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(CK\cdot CB=CE\cdot CH\)

Ta có: \(BD\cdot BH+CE\cdot CH=BK\cdot BC+CK\cdot BC\)

\(=BC\cdot\left(BK+CK\right)=BC\cdot BC=BC^2\)(đpcm)

TT

Trương Thanh Nhi

12 tháng 8 2020

Hình tự vẽ nha:))

a) Xét ΔEHB và ΔDHC có:

∠BEH=∠CDH=90^o

∠EHB=∠DHC(đối đỉnh)

Do đó, ΔEHB∼ΔDHC (gg).

b) Xét ΔHED và HBC có:

\(\frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}\)(ΔEHB∼ΔDHC)

∠DHE=∠BHC (đđ)

Do đó,ΔHED∼ΔHBC(cgc)

c) Xét ΔADB và ΔAEC có:

∠A chung

∠ADB=∠AEC=90^o

Do đó, ΔADB∼ΔAEC(gg)

Xét ΔAED và ΔABC có:

∠A chung

\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)(ΔADB∼ΔAEC)

Do đó, ΔAED∼ΔABC(cgc)

d) Vẽ HK⊥BC(K∈BC)

ΔBHK∼ΔBDC(gg)⇒\(\frac{BK}{BD}=\frac{BH}{BC}\)⇔BK.BC=BH.BD

ΔCHK∼ΔCBE(gg)⇒\(\frac{CK}{CE}=\frac{CH}{CB}\)⇔CK.BC=CE.CH

⇒BC(BK+CK)=BH.BD+CE.CH

⇔BC²=BH.BD+CE.CH (đpcm)

MV

Mr Vitas VN

9 tháng 4 2020

Cho ΔABCnhọn, đường cao BD, CE cắt nhau tại H

a) Chứng minh rằng AD.AC = AE.AB và ^ABC= ^ADE

b) Chứng minh rằng ΔHEDvà ΔHBCđồng dạng

c)Chứng minh rằng BE.BA CD.CA = BC²

d) Nếu ΔABCđều hãy tính tỉ số diện tíchΔHEDvà diện tích ΔABC

0

MV

Mr Vitas VN

9 tháng 4 2020

Cảm ơn

TM

Trần Minh Ánh

12 tháng 8 2020

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:

a) \(\Delta\)EHB đồng dạng\(\Delta\)DHC

b) \(\Delta\)HED đồng dạng\(\Delta\)HBC

c) \(\Delta\)ADE đồng dạng\(\Delta\)ABC

d) BD.BH+CH.CE=BC\(^2\)

1

NC

Ngô Chi Lan

12 tháng 8 2020

Bài làm:

a) Δ EHB ~ Δ DHC (g.g) vì:

+ \(\widehat{EHB}=\widehat{DHC}\) (đối đỉnh)

+ \(\widehat{BEH}=\widehat{CDH}=90^0\)

=> đpcm

b) Theo phần a, 2 tam giác đồng dạng

=> \(\frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}\)

Δ HED ~ Δ HBC (c.g.c) vì:

+ \(\frac{HE}{HB}=\frac{HD}{HC}\) (chứng minh trên)

+ \(\widehat{EHD}=\widehat{BHC}\) (đối đỉnh)

=> đpcm

c) Δ ABD ~ Δ ACE (g.g) vì:

+ \(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^0\)

+ \(\widehat{A}\) chung

=> \(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\)

Δ ADE ~ Δ ABC (c.g.c) vì:

+ \(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\) (chứng minh trên)

+ \(\widehat{A}\) chung

=> đpcm

d) Gọi F là giao của AH với BC

Δ BHF ~ Δ BCD (g.g) vì:

+ \(\widehat{BFH}=\widehat{BDC}=90^0\)

+ \(\widehat{B}\) chung

=> \(\frac{BF}{BH}=\frac{BD}{BC}\Rightarrow BD.BH=BF.BC\left(1\right)\)

Tương tự ta chứng minh được:

\(CH.CE=FC.BC\left(2\right)\)

Cộng vế (1) và (2) lại ta được:

\(BD.BH+CH.CE=\left(BF+FC\right)BC=BC.BC=BC^2\)

=> đpcm

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

14 tháng 9 2023

Cho tam giác \(ABC\) nhọn có hai đường cao \(BM,CN\) cắt nhau tại \(H\).

a) Chứng minh rằng \(\Delta AMN\backsim\Delta ABC\).

b) Phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt \(MN\) và \(BC\) lần lượt tại \(I\) và \(K\). Chứng minh rằng \(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{KB}}{{KC}}\).

1

KS

Kiều Sơn Tùng

14 tháng 9 2023

a) Vì \(BM\)là đường cao nên \(\widehat {AMB} = 90^\circ \); vì \(CN\)là đường cao nên \(\widehat {ANC} = 90^\circ \)

Xét tam giác \(AMB\) và tam giác \(ANC\) có:

\(\widehat A\) (chung)

\(\widehat {ANB} = \widehat {ANC} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta AMB\backsim\Delta ANC\) (g.g).

Suy ra, \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ).

Do đó, \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) (tỉ lệ thức)

Xét tam giác \(AMN\) và tam giác \(ABC\) có:

\(\widehat A\) (chung)

\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) (chứng minh trên)

Suy ra, \(\Delta AMN\backsim\Delta ABC\) (c.g.c).

b) Xét tam giác \(AMN\) có \(AI\) là đường phân giác của \(\widehat {MAN}\left( {I \in MN} \right)\).

Theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{AM}}{{AN}}\)

Xét tam giác \(ABC\) có \(AK\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\left( {K \in BC} \right)\).

Theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{BK}}{{KC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)

Mà \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (chứng minh trên) nên \(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{KB}}{{KC}}\) (điều phải chứng minh).

Cho tam giác nhọn ABC, vẽ các đường cao BD, CE. a) Chứng minh rằng: ΔADB ~ ΔAEC và AE.AB = AD.AC. b) Chứng minh rằng: ΔADE ~ ΔABC. c) Vẽ EF vuông góc với AC tại F. Chứng minh rằng: AE.DF = AF.BE. d) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BD, CE. Chứng minh rằng: hai góc BAC và MAN có chung tia phân...

D

Đạt

26 tháng 2 2018

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

22 tháng 6 2022

a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

góc BAD chung

Do đo: ΔADB\(\sim\)ΔAEC
Suy ra: AD/AE=AB/AC

hay \(AD\cdot AC=AE\cdot AB\)

b: Ta có: \(AD\cdot AC=AE\cdot AB\)

nên AD/AB=AE/AC

Xét ΔADE và ΔABC có

AD/AB=AE/AC

góc BAC chung

Do đó: ΔADE\(\sim\)ΔABC

c: Xét ΔABD có EF//BD

nên AF/FD=AE/EB

hay \(AF\cdot EB=AE\cdot FD\)

N

Newton

10 tháng 2 2019

Cho tam giác ABC có AB<AC.Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) So sánh \(\widehat{BAH}\)và \(\widehat{CAH}\)

b) So sánh BD và CE

c) Chứng minh \(\Delta ADE\simeq\Delta ABC\)

Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn (AB<AC). Vẽ hai đường cao BD và CE.a) Chứng minh: \(\Delta ABD\) đồng dạng \(\Delta ACE\) từ đó suy ra AE.AB=AD.ACb) Chứng minh \(\widehat{AED}\)=\(\widehat{ACB}\)c) Vẽ \(EK\perp BC\) (\(K\in BC\)). Trên tia đối tia BC lấy điểm I sao cho KI=KE. Đường thẳng vuông góc với IK tại I cắt AB tại M. Chứng...

0

ND

Nguyễn Duy Thịnh

18 tháng 5 2019

\(\Delta\)ABC có ba góc nhọn (AB<AC), các đường cao BD, CE cắt nhau tại O. Trên các đoạn OB, OC lấy các điểm H, I sao cho \(\widehat{AHC}\)= \(\widehat{AIB}\)= 90\(^0\).a) Chứng minh AH2 =AD.ACb) Chứng minh \(\Delta AHI\)cân.c) Tia DE và tia CB cắt nhau tại P, gọi K là trung điểm BC. Chứng minh \(\Delta PBE\)đồng dạng \(\Delta PDC\)và PD.PE=PK2 -...

0

TN

Thảo Nhi

17 tháng 2 2018