Cho a + b + c = 2. Chứng minh rằng \(4\left(a^3+b^3+c^3\right)+15abc\ge8\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
19 tháng 5 2017
Ta chứng minh \(4\left(a^3+b^3+c^3\right)+15abc\ge\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3+c^3\right)+9abc\ge3ab\left(a+b\right)+3bc\left(b+c\right)+3ca\left(c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)
BĐT trên đúng theo BĐT Schur
\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b+c\right)^3=2^3=8=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
15 tháng 9 2017
đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z
sau đó viết lại bđt rồi dùng cô si,nếu ko làm đc thì mình sẽ viết cụ thể cho
3 tháng 2 2021
mình ghi nhầm thui với lại bạn này gửi ngược ảnh, mình dùng máy tính không xem được
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 3 2022
\(\dfrac{a^3}{\left(b+2\right)\left(c+3\right)}+\dfrac{b+2}{36}+\dfrac{c+3}{48}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3\left(b+2\right)\left(c+3\right)}{1728\left(b+2\right)\left(c+3\right)}}=\dfrac{a}{4}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{\left(c+2\right)\left(a+3\right)}+\dfrac{c+2}{36}+\dfrac{a+3}{48}\ge\dfrac{b}{4}\)
\(\dfrac{c^3}{\left(a+2\right)\left(b+3\right)}+\dfrac{a+2}{36}+\dfrac{b+3}{48}\ge\dfrac{c}{4}\)
Cộng vế:
\(P+\dfrac{7\left(a+b+c\right)}{144}+\dfrac{17}{48}\ge\dfrac{a+b+c}{4}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{29}{144}\left(a+b+c\right)-\dfrac{17}{48}\ge\dfrac{29}{144}.3\sqrt[3]{abc}-\dfrac{17}{48}=\dfrac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NN
1
ML
29 tháng 11 2015
\(\frac{16\left(a+b+c\right)}{abc}\ge\frac{16\left(a+b+c\right)}{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3}=\frac{16.27}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Đặt \(\left(\sqrt[3]{a+b+c}\right)^2=t\text{ }\left(t>0\right)\)
\(VT=t+\frac{16.27}{t^3}=\frac{t}{3}+\frac{t}{3}+\frac{t}{3}+\frac{16.27}{t^3}\ge4\sqrt[4]{\left(\frac{t}{3}\right)^3.\frac{16.27}{t^3}}=8\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\frac{t}{3}=\frac{16.27}{t^3}\Leftrightarrow t=6.\)
WR
3 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT Cosi:
\(\frac{a^4}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}+\frac{a+2}{27}+\frac{b+2}{27}+\frac{1}{9}>=4\sqrt[4]{\frac{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}{27.27.9}.\frac{a^4}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}}...\)
\(>=\frac{4}{9}a\)
Tương tự
\(=>VT>=\frac{4}{9}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{9}-2\left(\frac{a+2}{9}+\frac{b+2}{9}+\frac{c+2}{9}\right)=\frac{1}{3}.\)
Dấu "="xảy ra khi a=b=c=1
Bổ sung a,b,c > 0 nhé
Đầu tiên, ta cm bđt phụ sau: \(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\) (với a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác)
Do mỗi thừa số bên vế trái đpcm đều > 0 nên áp dụng Cosi được
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(=\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}.\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}.\sqrt{\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}\)
\(\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}.\frac{b+c-a+c+a-b}{2}.\frac{c+a-b+a+b-c}{2}\)
\(=\frac{2b}{2}.\frac{2c}{2}.\frac{2a}{2}=abc\)
Dấu "=" <=> a = b = c
Áp dụng bđt trên ta được
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c-2c\right)\left(a+b+c-2a\right)\left(a+b+c-2b\right)\le abc\)
\(\Leftrightarrow\left(2-2a\right)\left(2-2b\right)\left(2-2c\right)\le abc\)
\(\Leftrightarrow[4-4\left(a+b\right)+4ab]\left(2-2c\right)\le abc\)
\(\Leftrightarrow8-8\left(a+b+c\right)+8c\left(a+b+c\right)+8ab-8abc\le abc\) (phá ra)
\(\Leftrightarrow8-8\left(a+b+c\right)+8\left(ab+bc+ca\right)-9abc\le0\)
\(\Leftrightarrow9abc+8\left(a+b+c\right)-8\left(ab+bc+ca\right)-8\ge0\)
\(\Leftrightarrow9abc+8.2-8\left(ab+bc+ca\right)-8\ge0\)
\(\Leftrightarrow9abc+8-8\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{9}{8}abc+1-\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{27}{8}abc+3-3\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{27}{8}abc+4-3\left(ab+bc+ca\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow\frac{27}{8}abc+\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow\frac{27}{8}abc+a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge1\)
\(\Leftrightarrow\frac{27}{4}abc+2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge2\)(Nhân cả 2 vế với 2)
\(\Leftrightarrow\frac{27}{4}abc+\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge2\)(1)
Đến đây , ta có hằng đẳng thức sau :
\(a^3+b^3+c^2-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)(Hđt này bạn tự c/m nhé)
Sử dụng hđt này ta được :
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{27}{4}abc+a^3+b^3+c^3-3abc\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc\ge2\)
\(\Leftrightarrow4a^3+4b^3+4c^3+15abc\ge8\)
Dấu "=" <=> a = b = c = 2/3
Cảm ơn bạn Incursion_03 nhé!