Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là BC = a, AC = b, AB = c thỏa mãn: a2 + b2 > 5c2 . CMR góc C < 60o
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 1 2021
Gọi G là giao điểm của AM và BN.
Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến: \(AM^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\);
\(BN^2=\dfrac{2c^2+2a^2-b^2}{4}\).
Từ đó \(AG^2=\dfrac{4}{9}AM^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{9}\); \(BG^2=\dfrac{4}{9}BN^2=\dfrac{2c^2+2a^2-b^2}{9}\).
Do đó \(AG^2+BG^2=\dfrac{a^2+b^2+4c^2}{9}=\dfrac{9c^2}{9}=c^2=AB^2\).
Theo định lý Pythagoras đảo thì tam giác AGB vuông tại G.
Vậy góc giữa 2 trung tuyến AM và BN là 90o.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2020
\(\Leftrightarrow ab\left(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{a+c}\right)+bc\left(\dfrac{1}{a+c}-\dfrac{1}{a+b}\right)+ca\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{b+c}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{bc\left(b-c\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{ca\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab\left(a^2-b^2\right)+bc\left(b^2-c^2\right)+ca\left(c^2-a^2\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\) hay tam giác cân
NT
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 9 2021
Kẻ đường cao BD ứng với AC. Do góc A tù \(\Rightarrow\) D nằm ngoài đoạn thẳng AC hay \(CD=AD+AC\) và \(\widehat{DAB}=180^0-120^0=60^0\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(AB^2=BD^2+AD^2\) \(\Rightarrow BD^2=AB^2-AD^2\)
Trong tam giác vuông ABD:
\(cos\widehat{BAD}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=cos60^0=\dfrac{1}{2}\Rightarrow AD=\dfrac{1}{2}AB\)
\(\Rightarrow BD^2=AB^2-\left(\dfrac{1}{2}AB^2\right)=\dfrac{3}{4}AB^2\)
Pitago tam giác BCD:
\(BC^2=BD^2+CD^2=\dfrac{3}{4}AB^2+\left(AD+AC\right)^2\)
\(=\dfrac{3}{4}AB^2+\left(\dfrac{1}{2}AB+AC\right)^2\)
\(=\dfrac{3}{4}AB^2+\dfrac{1}{4}AB^2+AB.AC+AC^2\)
\(=AB^2+AB.AC+AC^2\)
Hay \(a^2=b^2+c^2+bc\)
P
1
Ta sẽ chứng minh c là cạnh nhỏ nhất.
Thật vậy,giả sử c không phải là cạnh nhỏ nhất.
Giả sử \(c\ge a\Rightarrow c+c\ge a+c>b\Rightarrow2c>b\Leftrightarrow4c^2>b^2\)
Do \(c\ge a\) nên \(4c^2+c^2=5c^2\ge a^2+b^2\) (trái với gt)
Với \(c\ge b\) chứng minh tương tự của dẫn đến vô lí.
Do đó c là cạnh nhỏ nhất.Khi đó:
\(a+b+c>3c\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o>3.\widehat{C}\Leftrightarrow\widehat{C}< 60^o\) (đpcm)
Không chắc nha!Sai đừng trách.
Giả sử \(c\ge a>0\)\(\Rightarrow c^2\ge a^2\)mà \(a^2+b^2>5c^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2>5a^2\Rightarrow b^2>4a^2\Rightarrow b>2a\) (1)
Vì \(c^2\ge a^2\Rightarrow c^2+b^2\ge a^2+b^2>5c^2\Rightarrow b^2>4c^2\Rightarrow b>2c\)(2)
Từ (1) và (2) => 2b>2a+2c => b> a + c (vô lý) => c<a
Tương tự ta được c<b => c là độ dài cạnh nhỏ nhất
=> \(\widehat{C}\)là góc nhỏ nhất \(\Rightarrow\widehat{C}< \widehat{A}\)và \(\widehat{C}< \widehat{B}\)
=> \(3\widehat{C}< \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\Rightarrow\widehat{C}< 60^o\)
Vậy \(\widehat{C}< 60^o\)(đpcm)