K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

9 tháng 3 2019

a ) Áp dụng BĐT phụ \(a^2+b^2\ge2ab\) cho các cặp số thực , ta có :

\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

b ) Làm tương tự như a )

9 tháng 3 2019

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

a) Lại có : \(\left(a-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow...\Leftrightarrow a^2+1\ge2a\)

cmtt \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)

Nhân vế theo vế ta đc: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\left(dpcm\right)\)

b) Tiếp tục có \(\left(a-2\right)^2\ge0\Leftrightarrow...\Leftrightarrow a^2+4\ge4a\)

CMTT: \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+4\ge4b\\c^2+4\ge4c\end{matrix}\right.\)

Nhân vế theo vế ta đc: \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\ge4a.4b.4c=256abc\left(dpcm\right)\)

9 tháng 3 2019

(a^2+b^2)/2>=ab

<=>(a^2+b^2)>=2ab

 <=> a^2+2ab+b^2>=2ab 

<=>a^2+b^2>=0(luôn đúng)

=> điều phải chứng minh.

9 tháng 3 2019

Xét hiệu:  \(a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)

=>  \(a^2+b^2\ge2ab\)

Dấu "=" xra  <=>  a = b

Áp dụng ta có:

a)  \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)

dấu "=" xra  <=>  a = b = c = 1

b)  \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\left(d^2+4\right)\ge4a.4b.4c.4d=256abcd\)

Dấu "=" xra  <=>  a = b= c = d = 2

5 tháng 4 2020

a, Ta có : BĐT \(a^2+b^2\ge2ab\) = BĐT cauchuy .

-> Áp dụng BĐT cauchuy ta được :

\(\left\{{}\begin{matrix}a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2\\c^4+d^4\ge2\sqrt{c^4d^4}=2c^2d^2\end{matrix}\right.\)

- Cộng 2 bpt lại ta được :

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2=2\left(\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\right)\)

- Mà \(\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\ge2abcd\)

=> \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2.2abcd=4abcd\)

b, CMTT câu 1 .

- Áp dụng BĐT cauchuy ta được :

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)

- Nhân 3 bpt trên lại ta được :

\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2.2.2abc=8abc\)

22 tháng 5 2017

3 số thực dương nhé.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel có :

\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(a^2+2bc\right)+\left(b^2+2ca\right)+\left(c^2+2ab\right)}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1^2}=9\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2+2bc}=\frac{1}{b^2+2ca}=\frac{1}{c^2+2ab}\)\(a+b+c=1\)

\(\Leftrightarrow a^2+2bc=b^2+2ca=c^2+2ab\)

Mong có ai giúp mình từ đẳng thức trên giải ra a=b=c.

22 tháng 5 2017

a=b=c ket hop voi a+b+c=<1 =>a=b=c=1/3 nhe

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực khác không x, y ta có: \({x^2\over y^2} + {y^2\over x^2} + 4 ≥ 3({x\over y} + {y\over x})\) Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực x,y ta có: \(xy(x-2)(y+6)+12x^2-24x+3y^2+18y+36>0\) Bài 3: Cho x,y,z thuộc R. Chứng minh rằng: \(1019x^2+18y^4+1007z^2\geq 30xy^2+6y^2z+2008zx\) Bài 4: Cho a,b>=4. Chứng minh rằng: \(a^2+b^2+ab>=6(a+b)\) Bài 5:Cho x,y>=1. Chứng minh rằng: \(x\sqrt {y-1}+y \sqrt {x-1} \leq...
Đọc tiếp

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực khác không x, y ta có:

\({x^2\over y^2} + {y^2\over x^2} + 4 ≥ 3({x\over y} + {y\over x})\)

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực x,y ta có:

\(xy(x-2)(y+6)+12x^2-24x+3y^2+18y+36>0\)

Bài 3: Cho x,y,z thuộc R. Chứng minh rằng:

\(1019x^2+18y^4+1007z^2\geq 30xy^2+6y^2z+2008zx\)

Bài 4: Cho a,b>=4. Chứng minh rằng: \(a^2+b^2+ab>=6(a+b)\)

Bài 5:Cho x,y>=1. Chứng minh rằng: \(x\sqrt {y-1}+y \sqrt {x-1} \leq xy\)

Bài 6: Cho x,y>=1. Chứng minh rằng: \({1\over 1+x^2}+{1\over 1+y^2}\geq {2\over 1+xy}\)

Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số thực a,b ta có:

\(2(a^4+b^4)\geq ab^3+a^3b+2a^2b^2\)

Bài 8: Cho hai số thực x,y khác không. Chứng minh rằng:

\({4x^2y^2\over (x^2+y^2)^2}+{x^2\over y^2}+{y^2\over x^2}\geq 3\)

Bài 9: Cho các số thực a,b cùng dấu. Chứng minh bất đẳng thức:

\(({(a^2+b^2)\over 2})^3\leq({(a^3+b^3)\over 2})^2\)

Bài 10: Cho các số thực dương a,b. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

\({a^2b\over(2a^3+b^3)}+{2\over 3} \leq {(a^2+2ab)\over (2a^2+b^2)}\)

Bài 11: Cho các số thực a,b không đồng thời bằng 0. Chứng minh:

\({2ab\over (a^2+4b^2)}+{b^2\over (3a^2+2b^2)}\leq {3\over 5}\)

@Akai Haruma

12
12 tháng 6 2018

Bài 1. Áp dụng BĐT : ( x - y)2 ≥ 0 ∀xy

⇒ x2 + y2 ≥ 2xy

\(\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}\) ≥ 2

\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\) ≥ 2

⇒ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)) ≥ 6 ( 1)

CMTT : \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\) ≥ 2

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\)\(6\) ( 2)

Từ ( 1 ; 2) ⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\))

Đẳng thức xảy ra khi : x = y

12 tháng 6 2018

Bài 4. Do : a ≥ 4 ; b ≥ 4 ⇒ ab ≥ 16 ( * ) ; a + b ≥ 8 ( ** )

Áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a2 + b2 ≥ 2ab = 2.16 = 32 ( *** )

Từ ( * ; *** ) ⇒ a2 + b2 + ab ≥ 16 + 32 = 48 ( 1 )

Từ ( ** ) ⇒ 6( a + b) ≥ 48 ( 2)

Từ ( 1 ; 2 ) ⇒a2 + b2 + ab ≥ 6( a + b)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 4