K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

20 tháng 3 2016

Đặt \(f_1\left(x\right)=3e^{2x+1};f_2\left(x\right)=\frac{1}{\cos^{2\left(\frac{\Pi x}{4}\right)}}\) . Khi đó \(f\left(x\right)=f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)\)

- Tìm một nguyên hàm của \(f_1\left(x\right)=3e^{2x+1}\) vì nguyên hàm của hàm số \(e^x\) là hàm số \(e^x\) nên theo quy tắc : "Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)\) thì \(F\left(y\left(t\right)\right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(y\left(t\right)\right).y't\)                                           trong đó ta giả thiết rằng các hàm số \(f\left(y\left(t\right)\right).y't\)                                                        và \(F\left(y\left(t\right)\right)\) đều được xác định. Đặc biệt là nếu \(y\left(t\right)=at+b,a\ne0\) vafneeus F(x) là một nguyên hàm đối với hàm \(f\left(x\right)\) thì \(\frac{1}{a}F\left(at+b\right)\) là một nguyên hàm đối với hàm số \(f\left(at+b\right)\)" (a)

Nguyên hàm của hàm số \(e^{2x+1}\) là \(F_1\left(x\right)=\frac{1}{2}e^{2x+1}\)

Theo quy tắc "Nếu \(F\left(x\right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)\) thì \(kF\left(x\right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(kf\left(x\right)\)" (b) 

một nguyên hàm của \(3e^{2x+1}\) là hàm số \(3.\frac{1}{2}e^{2x+1}=\frac{3}{2}e^{2x+1}\)

Tìm một nguyên hàm của \(f_2\left(x\right)=\frac{1}{\cos^{2\left(\frac{\Pi x}{4}\right)}}\). Vì hàm số \(\tan x\) là một nguyên hàm của \(\frac{1}{\cos^2x}\) nên theo quy tắc (a) ta có \(\frac{4}{\Pi}\tan\frac{\Pi x}{4}\) là nguyên hàm của \(\frac{1}{\cos^{2\left(\frac{\Pi x}{4}\right)}}\)

Bây giờ áp dụng  quy tắc "Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) và G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) thì hàm số F(x) + G (x) là môt nguyên hàm của hàm số f(x)+g(x)" (c)

ta thu được \(\frac{3}{2}e^{2x+1}+\frac{4}{\Pi}\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)\)

Mọi nguyên hàm của \(f\left(x\right)\) được biểu diễn bởi công thức :

\(F\left(x\right)=\frac{3}{2}e^{2x+1}+\frac{4}{\Pi}\tan\left(\frac{\Pi x}{4}\right)+C\)

NV
11 tháng 3 2022

2.

\(I=\int e^{3x}.3^xdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=3^x\\dv=e^{3x}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=3^xln3dx\\v=\dfrac{1}{3}e^{3x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}e^{3x}.3^x-\dfrac{ln3}{3}\int e^{3x}.3^xdx=\dfrac{1}{3}e^{3x}.3^x-\dfrac{ln3}{3}.I\)

\(\Rightarrow\left(1+\dfrac{ln3}{3}\right)I=\dfrac{1}{3}e^{3x}.3^x\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3+ln3}.e^{3x}.3^x+C\)

NV
11 tháng 3 2022

1.

\(I=\int\left(2x-1\right)e^{\dfrac{1}{x}}dx=\int2x.e^{\dfrac{1}{x}}dx-\int e^{\dfrac{1}{x}}dx\)

Xét \(J=\int2x.e^{\dfrac{1}{x}}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^{\dfrac{1}{x}}\\dv=2xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-\dfrac{e^{\dfrac{1}{x}}}{x^2}dx\\v=x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow J=x^2.e^{\dfrac{1}{x}}+\int e^{\dfrac{1}{x}}dx\)

\(\Rightarrow I=x^2.e^{\dfrac{1}{x}}+C\)

19 tháng 10 2020

a) Để hàm xác định thì \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\\sqrt{x}-1\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)

b) Ta có: \(f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

\(\Rightarrow f\left(4-2\sqrt{3}\right)=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}+1}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}-1}=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}+1}{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}-1}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}\)

và \(f\left(a^2\right)=\frac{\sqrt{a^2}+1}{\sqrt{a^2}-1}=\frac{\left|a\right|+1}{\left|a\right|-1}\)(với \(a\ne\pm1\))

* Nếu \(a\ge0;a\ne1\)thì \(f\left(a^2\right)=\frac{a+1}{a-1}\)

* Nếu \(a< 0;a\ne-1\)thì \(f\left(a^2\right)=\frac{a-1}{a+1}\)

c) \(f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}-1+2}{\sqrt{x}-1}=1+\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)

Để f(x) nguyên thì \(\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)nguyên hay \(2⋮\sqrt{x}-1\Rightarrow\sqrt{x}-1\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)

Mà \(\sqrt{x}-1\ge-1\)nên ta xét ba trường hợp:

+) \(\sqrt{x}-1=-1\Rightarrow x=0\left(tmđk\right)\)

+) \(\sqrt{x}-1=1\Rightarrow x=4\left(tmđk\right)\)

+) \(\sqrt{x}-1=2\Rightarrow x=9\left(tmđk\right)\)

Vậy \(x\in\left\{0;4;9\right\}\)thì f(x) có giá trị nguyên 

d) \(f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)\(f\left(2x\right)=\frac{\sqrt{2x}+1}{\sqrt{2x}-1}\)

f(x) = f(2x) khi \(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{2x}+1}{\sqrt{2x}-1}\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{2x}-1\right)=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{2x}+1\right)\)\(\Leftrightarrow\sqrt{2}x+\sqrt{2x}-\sqrt{x}-1=\sqrt{2}x-\sqrt{2x}+\sqrt{x}-1\)\(\Leftrightarrow\sqrt{2x}-\sqrt{x}=-\sqrt{2x}+\sqrt{x}\Leftrightarrow2\sqrt{2x}=2\sqrt{x}\Leftrightarrow\sqrt{2x}=\sqrt{x}\Leftrightarrow x=0\)(tmđk)

Vậy x = 0 thì f(x) = f(2x)

4 tháng 2 2017

Đáp án C

AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 3 2021

Lời giải:

\(\int f(x)dx=\int \frac{x^2+2x}{x+1}dx=\int \frac{(x+1)^2-1}{x+1}dx=\int (x+1-\frac{1}{x+1})dx\)

\(=\int (x+1)dx-\int \frac{1}{x+1}dx=\frac{x^2}{2}+x-\ln |x+1|+c\)

9 tháng 3 2018

Đáp án B