cho hai số thực x , y . Tìm min của : \(P=5x^2+y^2+4xy-18x-12y+2018\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
FF
1
CV
27 tháng 1 2019
\(P=\left(2x+y-6\right)^2+\left(x+3\right)^2+1973>=1973\)
xay dau = <=>\(\hept{\begin{cases}x=-3\\2x+3-6\end{cases}}\)
TC
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 4 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x^2+2^2\geq 4x$
$4y^2+1\geq 4y$
$\Rightarrow x^2+4y^2+5\geq 4(x+y)$
$\Rightarrow P=x^2+4y^2+4xy\geq 4(x+y)-5+4xy=4(x+y+xy)-5=4.\frac{7}{2}-5=9$
Vậy $P_{\min}=9$. Giá trị này đạt tại $x=2; y=\frac{1}{2}$
T
14 tháng 9 2018
Ta có \(2018-5x^2-y^2-4xy+x\)
\(=2018+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-4x^2-x^2-y^2-2.2xy+x\)
\(=2018+\frac{1}{4}-\left(2x\right)^2-2.2xy-y^2-x^2+2.\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)
\(=\frac{8073}{4}-\left[\left(2x\right)^2+2.2xy+y^2\right]-\left[x^2-2.\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)
\(=\frac{8073}{4}-\left(2x+y\right)^2-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{8073}{4}\)( Vì \(\left(2x+y\right)^2\ge0;\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\))
Dấu ''='' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}2x+y=0\\x-\frac{1}{2}=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y=-2x\\x=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=-1\end{cases}}}\)
Vậy GTNN của \(2018-5x^2-y^2-4xy+x\)là \(\frac{8073}{4}\)khi \(x=\frac{1}{2}\)và\(y=-1\)
7 tháng 7 2016
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có : \(13^2=\left(5.x+12.y\right)^2\le\left(5^2+12^2\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow x^2+y^2\ge1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}5x+12y=13\\\frac{x}{5}=\frac{y}{12}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=\frac{5}{13}\\y=\frac{12}{13}\end{cases}}\)
Vậy Min \(x^2+y^2=1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{5}{13}\\y=\frac{12}{13}\end{cases}}\)
Lời giải:
\(P=5x^2+y^2+4xy-18x-12y+2018(*)\)
\(\Leftrightarrow 5x^2+x(4y-18)+(y^2-12y+2018-P)=0(I)\)
Coi $(I)$ là pt bậc 2 ẩn $x$.
Vì đẳng thức $(*)$ luôn có nghĩa nên PT $(I)$ luôn có nghiệm. Điều này xảy ra khi \(\Delta'=(2y-9)^2-5(y^2-12y+2018-P)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow 5P-y^2+24y-10009\geq 0\)
\(\Leftrightarrow P\geq \frac{y^2-24y+10009}{5}\)
Mà \(\frac{y^2-24y+10009}{5}=\frac{(y-12)^2+9865}{5}\geq \frac{9865}{5}=1973\)
Do đó $P\geq 1973$ hay $P_{\min}=1973$ tại $(x,y)=(-3,12)$