a) \(\int sin2x.cosxdx\) b) \(\int tanxdx\) c) \(\int\dfrac{sinx}{1 3cosx}dx\) d) \(\int sin^3xdx\) e) \(\int sin^2xdx\) f) \(\int cos^23x\) g) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{sin^2x.cos^2x}\) h)...

6

HH

Hạnh Hạnh

20 tháng 1 2019

\(a,\int sin2x.cosxdx=\int\dfrac{1}{2}\left[sin3x+sinx\right]dx=\dfrac{1}{2}\int sin3xdx+\dfrac{1}{2}\int sinxdx=\dfrac{-1}{6}cos3x-\dfrac{1}{2}cosx\)

HH

Hạnh Hạnh

20 tháng 1 2019

phần a bạn thêm +C vào đáp án nhé
\(i,\int2sinx3x.cos2xdx=2\int\dfrac{1}{2}\left(sin5x+sinx\right)dx=\int sin5xdx+\int sinxdx=-\dfrac{1}{5}cos5x-cosx+C\)

SG

Sách Giáo Khoa

12 tháng 4 2017

Tính các nguyên hàm sau đây :

a) \(\int\left(x+\ln x\right)x^2dx\)

b) \(\int\left(x+\sin^2x\right)\sin xdx\)

c) \(\int\left(x+e^x\right)e^{2x}dx\)

d) \(\int\left(x+\sin x\right)\dfrac{dx}{\cos^2x}\)

e) \(\int\dfrac{e^x\cos x+\left(e^x+1\right)\sin x}{e^x\sin x}dx\)

5

GV

Giáo viên Toán

Giáo viên

4 tháng 5 2017

a) \(\int\left(x+\ln x\right)x^2\text{d}x=\int x^3\text{d}x+\int x^2\ln x\text{dx}\)

\(=\dfrac{x^4}{4}+\int x^2\ln x\text{dx}+C\) (*)

Để tính: \(\int x^2\ln x\text{dx}\) ta sử dụng công thức tính tích phân từng phần như sau:

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\ln x\\v'=x^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=\dfrac{1}{x}\\v=\dfrac{1}{3}x^3\end{matrix}\right.\)

Suy ra:

\(\int x^2\ln x\text{dx}=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{3}\int x^2\text{dx}\)

\(=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}x^3\)

Thay vào (*) ta tính được nguyên hàm của hàm số đã cho bằng:

(*) \(=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{3}x^3\ln x+\dfrac{1}{9}x^3+C\)

\(=\dfrac{4}{9}x^3-\dfrac{1}{3}x^3\ln x+C\)

GV

Giáo viên Toán

Giáo viên

4 tháng 5 2017

b) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+\sin^2x\\v'=\sin x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=1+2\sin x.\cos x\\v=-\cos x\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\int\left(x+\sin^2x\right)\sin x\text{dx}=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\int\left(1+2\sin x\cos^2x\right)\text{dx}\)

\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\int\cos x\text{dx}+2\int\sin x.\cos^2x\text{dx}\)

\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\sin x-2\int\cos^2x.d\left(\cos x\right)\)

\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\sin x-2\dfrac{\cos^3x}{3}+C\)

H

Hùng

20 tháng 2 2019

1, \(\int sin2x.e^{3x}dx\)

2, \(\int\dfrac{x^4dx}{\left(x^2-1\right)^2}\)

3, \(\int e^x.cos^2xdx\)

4, \(\int e^{2x}sin^2xdx\)

5, \(\int e^{-x}.cos^3xdx\)

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

20 tháng 2 2019

4 câu 1,3,4,5 giống nhau, mình làm 1 câu và bạn dựa vào đó tự xử lý mấy câu còn lại nhé

1/ \(I=\int sin2x.e^{3x}dx\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=sin2x\\dv=e^{3x}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2cos2x.dx\\v=\dfrac{1}{3}e^{3x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}sin2x.e^{3x}-\dfrac{2}{3}\int cos2x.e^{3x}dx=\dfrac{1}{3}sin2x.e^{3x}-\dfrac{2}{3}I_1\)

Xét \(I_1=\int cos2x.e^{3x}dx\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=cos2x\\dv=e^{3x}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-2sin2xdx\\v=\dfrac{1}{3}e^{3x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_1=\dfrac{1}{3}cos2x.e^{3x}+\dfrac{2}{3}\int sin2x.e^{3x}dx=\dfrac{1}{3}cos2x.e^{3x}+\dfrac{2}{3}I\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}sin2x.e^{3x}-\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{3}cos2x.e^{3x}+\dfrac{2}{3}I\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{13}{9}I=\dfrac{1}{9}e^{3x}\left(3sin2x-2cos2x\right)\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{13}e^{3x}\left(3sin2x-2cos2x\right)+C\)

3/ \(\int e^x\left(\dfrac{1+cos2x}{2}\right)dx=\dfrac{1}{2}\int e^xdx+\dfrac{1}{2}\int cos2x.e^xdx=\dfrac{e^x}{2}+\dfrac{1}{2}I_1\)

\(I_1\) có cách tính y hệt như bài 1, bạn nguyên hàm từng phần 2 lần là xong

4/ Cũng hạ bậc tương tự câu trên và xử lý

5/ \(I=\int e^{-x}\left(\dfrac{cos3x+3cosx}{4}\right)dx=\dfrac{1}{4}\int e^{-x}\left(cos3x+3cosx\right)dx\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{4}\int e^{-x}cos3x.dx+\dfrac{3}{4}\int e^{-x}cosx.dx=I_1+I_2\)

Dùng phương pháp tương tự bài 1, lần lượt tính \(I_1\) và \(I_2\) rồi cộng vào

2/\(I=\int\dfrac{x^4}{\left(x^2-1\right)^2}dx=\int\left(1+\dfrac{2x^2-1}{\left(x^2-1\right)^2}\right)dx=\int\left(1+\dfrac{2}{x^2-1}+\dfrac{1}{\left(x^2-1\right)^2}\right)dx\)

\(=\int\left(1+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right)^2\right)dx\)

\(=\int\left(1+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}\right)\right)dx\)

\(=\int\left(1+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right)+\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\right)dx\)

\(=x+\dfrac{3}{4}ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|-\dfrac{1}{4\left(x+1\right)}-\dfrac{1}{4\left(x-1\right)}+C\)

\(=x+\dfrac{3}{4}ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|-\dfrac{x}{2\left(x^2-1\right)}+C\)

HT

Hoàng Tử Hà

12 tháng 8 2019

thầy e cx cho câu giống câu 2 kia, e tắc luôn ạ, may mà anh lm r :))

SG

Sách Giáo Khoa

12 tháng 4 2017

Tính các tích phân sau :

a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\cos2x.\cos^2xdx\)

b) \(\int\limits^1_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{e^x}{e^{2x}-1}dx\)

c) \(\int\limits^1_0\dfrac{x+2}{x^2+2x+1}\ln\left(x+1\right)dx\)

d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\dfrac{x\sin x+\left(x+1\right)\cos x}{x\sin x+\cos x}dx\)

3

AH

Akai Haruma

Giáo viên

8 tháng 7 2017

a)

Ta có \(A=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos 2x\cos^2xdx=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos 2x(\cos 2x+1)d(2x)\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos x(\cos x+1)dx=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos xdx+\frac{1}{8}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}(\cos 2x+1)dx\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{4}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|\sin x+\frac{1}{16}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|\sin 2x+\frac{1}{8}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|x=\frac{1}{4}+\frac{\pi}{16}\)

b)

\(B=\int ^{1}_{\frac{1}{2}}\frac{e^x}{e^{2x}-1}dx=\frac{1}{2}\int ^{1}_{\frac{1}{2}}\left ( \frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{e^x+1} \right )d(e^x)\)

\(\Leftrightarrow B=\frac{1}{2}\left.\begin{matrix} 1\\ \frac{1}{2}\end{matrix}\right|\left | \frac{e^x-1}{e^x+1} \right |\approx 0.317\)

AH

Akai Haruma

Giáo viên

8 tháng 7 2017

c)

Có \(C=\int ^{1}_{0}\frac{(x+2)\ln(x+1)}{(x+1)^2}d(x+1)\).

Đặt \(x+1=t\)

\(\Rightarrow C=\int ^{2}_{1}\frac{(t+1)\ln t}{t^2}dt=\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t}dt+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt\)

\(=\int ^{2}_{1}\ln td(\ln t)+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt=\frac{\ln ^22}{2}+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln t\\ dv=\frac{dt}{t^2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dt}{t}\\ v=\frac{-1}{t}\end{matrix}\right.\Rightarrow \int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt=\left.\begin{matrix} 2\\ 1\end{matrix}\right|-\frac{\ln t+1}{t}=\frac{1}{2}-\frac{\ln 2 }{2}\)

\(\Rightarrow C=\frac{1}{2}-\frac{\ln 2}{2}+\frac{\ln ^22}{2}\)

Tính các nguyên hàm sau : a) \(\int x\left(3-x\right)^5dx\) b) \(\int\left(2^x-3^x\right)^2dx\) c) \(\int x\sqrt{2-5x}dx\) d) \(\int\dfrac{\ln\left(\cos x\right)}{\cos^2x}dx\) e) \(\int\dfrac{x}{\sin^2x}dx\) \(\int\dfrac{x+1}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}dx\) h) \(\int\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}dx\) i) \(\int\sin3x\cos2xdx\) k) \(\int\dfrac{\sin^3x}{\cos^2x}dx\) l) \(\int\dfrac{\sin x\cos x}{\sqrt{a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}}dx\) (\(a^2\ne...

SG

Sách Giáo Khoa

12 tháng 4 2017

Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính : a) \(\int\sin^4xdx\) b) \(\int\dfrac{1}{\sin^3x}dx\) c) \(\int\sin^3x\cos^4xdx\) d) \(\int\sin^4x\cos^4xdx\) e) \(\int\dfrac{1}{\cos x\sin^2x}dx\) g) \(\int\dfrac{1+\sin x}{1+\cos...

0

SG

Sách Giáo Khoa

12 tháng 4 2017

1

GV

Giáo viên Toán

Giáo viên

4 tháng 5 2017

a) \(\sin^4x=\left(\sin^2x\right)^2=\left(\dfrac{1-\cos2x}{2}\right)^2\)

\(=\dfrac{1}{4}\left(1-2\cos2x+\cos^22x\right)\)

\(=\dfrac{1}{4}\left(1-2.\cos2x+\dfrac{1+\cos4x}{2}\right)\)

\(=\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos2x+\dfrac{1}{8}\cos4x\)

Vậy:

\(\int\sin^4x\text{dx}=\int\left(\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos2x+\dfrac{1}{8}\cos4x\right)\text{dx}\)

\(=\dfrac{3}{8}x-\dfrac{1}{4}\sin2x+\dfrac{1}{32}\sin4x+C\)

SG

Sách Giáo Khoa

1 tháng 4 2017

Tính các tích phân sau :

a) \(\int\limits^2_0\left|1-x\right|dx\)

b) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^2xdx\)

c) \(\int\limits^{ln2}_0\dfrac{e^{2x+1}+1}{e^x}dx\)

d) \(\int\limits^{\pi}_0\sin2x\cos^2xdx\)

1

HB

Hai Binh

27 tháng 4 2017

Hỏi đáp Toán

Mọi người ơi , giúp e tính tích phân bất định với ạ ! Cảm ơn m.n ạ ! a.\(\int\frac{x+6}{\sqrt{x^2-2x+10}}dx\) b.\(\int\frac{x}{\sqrt{3-2x-x^2}}dx\) c.\(\int\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}dx\) d,\(\int\frac{dx}{1+tanx}\) e.\(\int tan^3xdx\) f. \(\int cos^3xdx\) g. \(\int sin^2x.cos^3xdx\) h. \(\int sinx.cos2xdx\) i. \(\int\frac{sin2x}{1+cos^2x}dx\) ...

QN

Quyên Nguyễn

25 tháng 8 2020

6

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

26 tháng 8 2020

8.

\(I=\int sinx.cos2xdx=\int\left(2cos^2x-1\right)sinxdx\)

\(=\int\left(1-2cos^2x\right)d\left(cosx\right)=cosx-\frac{2}{3}cos^3x+C\)

9.

\(I=\int\frac{sin2x}{1+cos^2x}dx=-\int\frac{2\left(-sinx\right).cosx}{1+cos^2x}dx=-\int\frac{d\left(cos^2x\right)}{1+cos^2x}\)

\(=-ln\left|1+cos^2x\right|+C\)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

26 tháng 8 2020

6.

\(I=\int cos^3xdx=\int\left(1-sin^2x\right)cosxdx\)

\(=\int\left(1-sin^2x\right)d\left(sinx\right)=sinx-\frac{1}{3}sin^3x+C\)

7.

\(I=\int sin^2x.cos^3xdx=\int sin^2x\left(1-sin^2x\right)cosxdx\)

\(=\int\left(sin^2x-sin^4x\right)d\left(sinx\right)=\frac{1}{3}sin^3x-\frac{1}{5}sin^5x+C\)

Tính : a) \(\int\left(2-x\right)\sin xdx\) b) \(\int\dfrac{\left(x+1\right)^2}{\sqrt{x}}dx\) c) \(\int\dfrac{3^{3x}+1}{e^x+1}dx\) d) \(\int\dfrac{1}{\left(\sin x+\cos...

SG

Sách Giáo Khoa

1 tháng 4 2017

1

HB

Hai Binh

11 tháng 4 2017

Giải bài 4 trang 126 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

C

Crackinh

5 tháng 3 2022

Tính nguyên hàm các hàm số sau:

1. \(I=\int\dfrac{cos^2x}{sin^8x}dx\)

2. \(I=\int\left(e^{sinx}+cosx\right)cosxdx\)