\(CM:\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\ge6\forall x,y,z>0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PA
2
23 tháng 11 2019
Áp dụng liên tiếp 1 lần BĐT AM-GM :
\(\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}}\ge3\sqrt[3]{\frac{2\sqrt{xy}\cdot2\sqrt{yz}\cdot2\sqrt{zx}}{xyz}}\)
\(=3\sqrt[3]{\frac{8xyz}{xyz}}=3\sqrt[3]{8}=6\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
17 tháng 8 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :
\(VT=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{6^2}{2\cdot6}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=2\)
p/s: Đề sai nha bạn. Dạng tổng quát của bài toán :
Cho \(a,b,c>0;a+b+c=p\). Chứng minh rằng :
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{p}{2}\)
LN
1
21 tháng 11 2017
Nhẩm nghiệm ta thấy: a+b+c=3 \(\Rightarrow\)a=b=c=1 (1)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\(x^5+y^5+z^5+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\ge6\sqrt[6]{\frac{x^5y^5z^5}{xyz}}=6\sqrt[6]{x^4y^4z^4}\)
Hay: \(6\sqrt[6]{x^4y^4z^4}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[6]{x^4y^4z^4}=1\Leftrightarrow x^4y^4z^4=1\Leftrightarrow xyz=1\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: x=y=z=1
30 tháng 4 2020
Đặt \(P=\frac{x^3}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow P\ge x+y+x-\frac{x+y+z}{2}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{4}{2}=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 6 2020
Với \(a;b>0\) ta luôn có: \(\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}\ge\frac{a+b}{2}\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(2\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng vào bài toán:
\(P=\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3+z^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3+x^3}{z^2+x^2}\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z\ge6\)
\(\Rightarrow P_{min}=6\) khi \(x=y=z=2\)
KK
23 tháng 2 2017
Xét: \(\frac{1-x^2}{x+yz}+\frac{1-y^2}{y+xz}+\frac{1-z^2}{z+xy}\)
Thay thế \(x+y+z=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2-x^2}{x\left(x+y+z\right)+yz}+\frac{\left(x+y+z\right)^2-y^2}{y\left(x+y+z\right)+xz}+\frac{\left(x+y+z\right)^2-z^2}{z\left(x+y+z\right)+xy}\)
Áp dụng hằng đẳng thức hiệu 2 bình phương: \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)}{x^2+xy+xz+yz}+\frac{\left(x+z\right)\left(x+2y+z\right)}{xy+y^2+yz+xz}+\frac{\left(x+y\right)\left(x+y+2z\right)}{xz+zy+z^2+xy}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{\left(x+z\right)\left(x+2y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{\left(x+y\right)\left(x+y+2z\right)}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\left(x+y\right)\left(x+z\right)\le\left(\frac{2x+y+z}{2}\right)^2=\frac{\left(2x+y+z\right)^2}{4}\\\left(x+y\right)\left(y+z\right)\le\left(\frac{x+2y+z}{2}\right)^2=\frac{\left(x+2y+z\right)^2}{4}\\\left(x+z\right)\left(y+z\right)\le\left(\frac{x+y+2z}{2}\right)^2=\frac{\left(x+y+2z\right)^2}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{4\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)}{\left(2x+y+z\right)^2}=\frac{4\left(y+z\right)}{2x+y+z}\\\frac{\left(x+z\right)\left(x+2y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{4\left(x+z\right)\left(x+2y+z\right)}{\left(x+2y+z\right)^2}=\frac{4\left(x+z\right)}{x+2y+z}\\\frac{\left(x+y\right)\left(x+y+2z\right)}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{4\left(x+y\right)\left(x+y+2z\right)}{\left(x+y+2z\right)^2}=\frac{4\left(x+y\right)}{x+y+2z}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4\left(y+z\right)}{2x+y+z}+\frac{4\left(x+z\right)}{x+2y+z}+\frac{4\left(x+y\right)}{x+y+2z}\)
\(\Rightarrow VT\ge4\left(\frac{y+z}{2x+y+z}+\frac{x+z}{x+2y+z}+\frac{x+y}{x+y+2z}\right)\)
Ta có: \(x+y+z=1\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}y+z=1-x\\x+z=1-y\\x+y=1-z\end{matrix}\right.\) ( 1 )
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}2x+y+z=1+x\\x+2y+z=1+y\\x+y+2z=1+z\end{matrix}\right.\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 )
\(\Rightarrow VT\ge4\left(\frac{1-x}{1+x}+\frac{1-y}{1+y}+\frac{1-z}{1+z}\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge4\left(\frac{1+x-2x}{1+x}+\frac{1+y-2y}{1+y}+\frac{1+z-2z}{1+z}\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge4\left[3-\left(\frac{2x}{1+x}+\frac{2y}{1+y}+\frac{2z}{1+z}\right)\right]\)
\(\Rightarrow VT\ge12-4\left(\frac{2x}{1+x}+\frac{2y}{1+y}+\frac{2z}{1+z}\right)\)
Chứng minh rằng \(12-4\left(\frac{2x}{1+x}+\frac{2y}{1+y}+\frac{2z}{1+z}\right)\ge6\)
\(\Leftrightarrow4\left(\frac{2x}{1+x}+\frac{2y}{1+y}+\frac{2z}{1+z}\right)\le6\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x}{1+x}+\frac{2y}{1+y}+\frac{2z}{1+z}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1+x-1}{1+x}+\frac{1+y-1}{1+y}+\frac{1+z-1}{1+z}\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow1-\frac{1}{1+x}+1-\frac{1}{1+y}+1-\frac{1}{1+z}\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow3-\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\right)\le\frac{3}{4}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+x+y+z}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow3-\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\right)\le3-\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow3-\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\right)\le\frac{3}{4}\) ( đpcm )
Vì \(12-4\left(\frac{2x}{1+x}+\frac{2y}{1+y}+\frac{2z}{1+z}\right)\ge6\)
\(\Rightarrow VT\ge6\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1-x^2}{x+yz}+\frac{1-y^2}{y+xz}+\frac{1-z^2}{z+xy}\ge6\) ( đpcm )
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 2 2017
Cách khác:
\(A=\frac{1-x^2}{x+yz}+\frac{1-y^2}{y+xz}+\frac{1-z^2}{z+xy}=\frac{1-x^2}{x(x+y+z)+yz}+\frac{1-y^2}{y(x+y+z)+xz}+\frac{1-z^2}{z(x+y+z)+xy}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1-x^2}{(x+y)(x+z)}+\frac{1-y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{1-z^2}{(z+x)(z+y)}=\frac{2(x+y+z)-[xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)]}{(x+y)(y+z)(x+z)}\)
Có \(A\geq 6\Leftrightarrow 2-[xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)]\ge 6(x+y)(y+z)(x+z)\)
\(\Leftrightarrow 2+9xyz\geq 7(x+y+z)(xy+yz+xz)\)
\(\Leftrightarrow 2+9xyz\geq 7(xy+yz+xz)\) \((\star)\)
Theo BĐT Schur bậc 3 kết hợp AM-GM:
\(xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)=(1-2x)(1-2y)(1-2z)\)
\(\Leftrightarrow 9xyz\geq 4(xy+yz+xz)-1\)
\(\Rightarrow 2+9(xy+yz+xz)\geq 1+4(xy+yz+xz)=(x+y+z)^2+4(xy+yz+xz)\)\(\geq 7(xy+yz+xz)\)
Do đó \((\star)\) được CM. Bài toán hoàn tất. Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
ZC
2
T
20 tháng 1 2019
Bổ sung: x,y,z dương:
\(VT=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\)
Áp dụng BĐT Cô si với các biểu thức trong ngoặc:
\(VT\ge2+2+2=6^{\left(đpcm\right)}\)
Easy!
20 tháng 1 2019
uk.mik cũng biết rồi nhưng mak làm hơi dài dòng.
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
rồi áp dụng bất đẳng thức cô-si như bạn.
13 tháng 1 2019
Ta có bđt : \(\frac{m^2}{n}+\frac{p^2}{q}\ge\frac{\left(m+p\right)^2}{n+q}\)\(\left(m,n,p,q>0\right)\)(1)
Thật vậy \(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{m^2q+p^2n}{nq}\ge\frac{\left(m+p\right)^2}{n+q}\)
\(\Leftrightarrow m^2n\left(n+q\right)+p^2n\left(n+q\right)\ge nq\left(m+p\right)^2\)
\(\Leftrightarrow............\)(Phá tung ra + chuyển vế)
\(\Leftrightarrow\left(mq-pn\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Áp dụng (1) ta được
\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)(ĐPCM)
Dấu "=" khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)
P/S: nếu hỏi tại sao chỗ bđt phụ lại đặt m,n,p,q khó nhìn thì hãy bảo tại cái đề bài đã có a,b,x,y rồi -.-
T
14 tháng 1 2019
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\left[\left(\frac{x}{\sqrt{a}}\right)^2+\left(\frac{y}{\sqrt{b}}\right)^2+\left(\frac{z}{\sqrt{c}}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{c}\right)^2\right]\)\(\ge\left(x+y+z\right)^2\)
Hay \(\left(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
Chia hai vế của BĐT cho (a + b + c),ta có đpcm: \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)
\(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\)
\(=\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}\)
\(=\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\ge2.\sqrt{\frac{x}{z}.\frac{z}{x}}+2.\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}+2.\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{y}}=2+2+2=6\)
đpcm
Svac-xơ
\(VT=\left(\frac{x+y}{z}+1\right)+\left(\frac{y+z}{x}+1\right)+\left(\frac{z+x}{y}+1\right)-3\)
\(VT=\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}-3=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-3\)
\(\ge\left(x+y+z\right).\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}-3=9-3=6\)