làm như yêu cầu nha shitbo.
\(CMR:\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}\ge6\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PA
2
23 tháng 11 2019
Áp dụng liên tiếp 1 lần BĐT AM-GM :
\(\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}}\ge3\sqrt[3]{\frac{2\sqrt{xy}\cdot2\sqrt{yz}\cdot2\sqrt{zx}}{xyz}}\)
\(=3\sqrt[3]{\frac{8xyz}{xyz}}=3\sqrt[3]{8}=6\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
T
3
12 tháng 1 2019
\(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\)
\(=\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}\)
\(=\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\ge2.\sqrt{\frac{x}{z}.\frac{z}{x}}+2.\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}+2.\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{y}}=2+2+2=6\)
đpcm
12 tháng 1 2019
Svac-xơ
\(VT=\left(\frac{x+y}{z}+1\right)+\left(\frac{y+z}{x}+1\right)+\left(\frac{z+x}{y}+1\right)-3\)
\(VT=\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}-3=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-3\)
\(\ge\left(x+y+z\right).\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}-3=9-3=6\)
17 tháng 8 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :
\(VT=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{6^2}{2\cdot6}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=2\)
p/s: Đề sai nha bạn. Dạng tổng quát của bài toán :
Cho \(a,b,c>0;a+b+c=p\). Chứng minh rằng :
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{p}{2}\)
31 tháng 1 2017
Cm 1< M<2 thì sẽ không có giá trị là số tự nhiên..
\(\frac{x}{x+y+z+t}\)< \(\frac{x}{x+y+z}\)< \(\frac{x}{x+y}\)
Tương đương mấy cái kia cũng vậy ^_^
Sau đó cộng từng vế của BĐT ra kết quả
LN
1
21 tháng 11 2017
Nhẩm nghiệm ta thấy: a+b+c=3 \(\Rightarrow\)a=b=c=1 (1)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\(x^5+y^5+z^5+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\ge6\sqrt[6]{\frac{x^5y^5z^5}{xyz}}=6\sqrt[6]{x^4y^4z^4}\)
Hay: \(6\sqrt[6]{x^4y^4z^4}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[6]{x^4y^4z^4}=1\Leftrightarrow x^4y^4z^4=1\Leftrightarrow xyz=1\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: x=y=z=1
S
11 tháng 8 2019
\(\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\frac{y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}\)
\(tt:\frac{y-z}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}=\sqrt{y}-\sqrt{z};.....\)
\(\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\frac{y}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}+.....-\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}=0\Rightarrow dpcm\)
30 tháng 4 2020
Đặt \(P=\frac{x^3}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow P\ge x+y+x-\frac{x+y+z}{2}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{4}{2}=2\)
Bổ sung: x,y,z dương:
\(VT=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\)
Áp dụng BĐT Cô si với các biểu thức trong ngoặc:
\(VT\ge2+2+2=6^{\left(đpcm\right)}\)
Easy!
uk.mik cũng biết rồi nhưng mak làm hơi dài dòng.
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
rồi áp dụng bất đẳng thức cô-si như bạn.