Cho \(\Delta ABC\) nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tai H.
a. Tính tổng: \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}\)
b. Chứng minh: BH.BE + CH.CF = \(BC^2\)
c. Chứng minh: H cách đều 3 cạnh tam giác DEF
d. Trên các đoạn HB, HC lấy các điểm M, N tuỳ ý sao cho HM = CN. Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố...
Đọc tiếp
Cho \(\Delta ABC\) nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tai H.
a. Tính tổng: \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}\)
b. Chứng minh: BH.BE + CH.CF = \(BC^2\)
c. Chứng minh: H cách đều 3 cạnh tam giác DEF
d. Trên các đoạn HB, HC lấy các điểm M, N tuỳ ý sao cho HM = CN. Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định.
b: Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có
góc EBC chug
Do đo: ΔBDH đồng dạng với ΔBEC
=>BD/BE=BH/BC
=>BH*BE=BD*BC
Xét ΔCDH vuông tại D và ΔCFB vuông tại F có
góc FCB chung
Do đó; ΔCDH đồng dạng với ΔCFB
=>CD/CF=CH/CB
=>CD*CB=CH*CF
BH*BE+CH*CF=BD*BC+CD*CB=BC^2
c: góc HED=góc HCD
góc HEF=góc BAD
mà góc HCD=góc BAD
nên góc HED=góc HEF
=>EH là phân giác của góc FED(1)
góc EFH=góc DAC
góc DFH=góc EBC
mà góc DAC=góc EBC
nên góc EFH=góc DFH
=>FH là phân giác của góc EFD(2)
Từ (1), (2) suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp ΔEFD
=>H cách đều ba cạnh của ΔFED