Cho m,n là hai số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 3m + 5n chia hết cho 8. CMR: 3n + 5m chia hết cho 8.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LM
0
HC
12 tháng 12 2016
Vì 3^m+5^n chia hết cho 8, 8^n+8^m chia hết cho 8
=>(8^m+8^n) - (3^m+5^n) chia hết cho 8
=>3^n+5^m chia hết cho 8
5 tháng 11 2021
Giả sử m,n đều là số chẵn .
Đặt n = 2a , m = 2b ( a,b thuộc Z+ ; a,b 》1 )
=> 3^m = 3^2b = 9^b đd 1 ( mod 8 ) ; 5^n = 5^2a = 25^a đd 1 ( mod 8 )
=> 3^m + 5^n đd 2 ( mod 8 ) ( trái với giả thiết )
=> Điều giả sử sai
=> m,n không cùng là số chẵn
Tương tự : Nếu trong 2 số m,n có 1 số chẵn , 1 số lẻ không thỏa mãn giả thiết
=> Cả m,n đều là số lẻ
Xét tổng 3^m + 5^n + 3^n + 5^m = ( 3^m + 5^m ) + ( 3^n + 5^n )
= ( 3 + 5 ).( 3^m-1 - 3^m-2.5 + ... + 5^m-1 ) + ( 3 + 5 ).( 3^n-1 - ... + 5^n-1 ) ( Vì m,n đều là số lẻ )
= 8.M + 8.N chia hết cho 8
Mà 3^m + 5^n chia hết cho 8 ( giả thiết )
=> 3^n + 5^m chia hết cho 8 ( đpcm )
Vậy 3^n + 5^m chia hết cho 8 .
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 12 2016
Lời giải:
Ta có $3^m+5^n\equiv 3^m+1\equiv 0\pmod 4$ nên $3^m\equiv (-1)^m\equiv -1\pmod 4$ nên $m$ lẻ
Đặt $m=2k+1$ ( $k\in\mathbb{N}$) thì $3^m=3^{2k+1}\equiv 3\pmod 8$
$\Rightarrow 5^n\equiv 5\pmod 8$. Xét tính chẵn, lẻ ( đặt $n=2t,2t+1$) suy ra $n$ lẻ
Do đó $\Rightarrow 3^n+5^m\equiv (-5)^n+(-3)^m=-(5^n+3^m)\equiv 0\pmod 8$
Ta có đpcm
21 tháng 11 2016
Giả sử n và m là số chẵn ta có: \(\hept{\begin{cases}n=2k\\m=2p\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3^m=3^{2k}=9^k\\5^n=5^{2p}=25^p\end{cases}}\)
Ta có 9 chia cho 8 dư 1 nên 9k chia 8 dư 1
25 chia 8 dư 1 nên 25p chia 8 dư 1
\(\Rightarrow3^m+5^n\)chia 8 dư 2. Trai giả thuyết
Tương tự với n lẻ m chẵn và n chẵn m lẻ ta đều không thỏa đề bài. Từ đó ta có được là n,m phải là 2 số lẻ
Ta có:
\(3^m+5^n+3^n+5^m=\left(3^m+5^m\right)+\left(3^n+5^n\right)\)
\(=\left(3+5\right)\left(3^{m-1}-3^{m-2}.5+...\right)+\left(3+5\right)\left(3^{n-1}-3^{n-2}.5+...\right)=8A+8B\)
\(\Rightarrow3^n+5^m=8A+8B-3^m-5^n\)
Ta thấy rằng \(3^m+5^n;8A+8B\)đều chia hết cho 8 nên \(3^n+5^m\)chia hết cho 8
Dễ chứng minh m,n đều là số lẻ (sử dụng phản chứng vs n,m đều chẵn, 1 trong 2 số chẵn). Vậy ta có hđt mở rộng:
\(3^m+5^m+3^n+5^n=\left(3+5\right)\left(3^{m-1}-3^{m-2}.5+...\right)+\left(3+5\right)\left(3^{n-1}-3^{n-2}.5+...\right)\)
\(=8A+8B\)
=> \(3^n+5^m=8A+8B-3^m-5^n\)
=> \(3^n+5^m\)chia hết cho 8. d0pcm