Question

[Sakura]

1/tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: \(x^3+3x=x^2y+2y+5\)

2/ tìm tất cả các nghiệm nguyên dương x,y thỏa mãn phương trình :5x+7y=112

3/tìm các cặp số nguyên x,y thỏa mãn:\(5x^2+2xy+y^2-4x-40=0\)

4/ tím các số nguyên x,y thỏa mãn: 3xy+x+15y-44=0

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Câu 2:

5x+7y=112

=>5x=112-7y

=>\(x=\dfrac{112-7y}{5}\)

=>\(\left(x,y\right)\in\left\{\left(1;15\right);\left(7;11\right);\left(14;6\right);\left(21;1\right)\right\}\)

Answer 2

[Nguyễn Thị Thương Hoài]

Câu 1:

Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề tìm nghiệm nguyên, cấu trúc thi chuyên thi học sinh giỏi. Hôm nay olm.vn sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp tìm điều kiện của biến để biểu thức là một số nguyên như sau:

      Bước 1: Đưa hết các hạng tử chứa cùng một ẩn về một vế của phương trình.

     Bước 2:  Tìm ẩn này thông qua ẩn kia bằng phương pháp thế.

   Bước 3: Tìm điều của ẩn để phân thức đại số đã tìm được ở bước 2 là một số nguyên.

    Bước 4: Kết luận:

                  Giải:

    \(x^3\) + 3\(x\) = \(x^2\)y + 2y + 5 (\(x;y\in N\))

    \(x^3\) + 3\(x\) - 5 = \(x^2\)y + 2y

  y.(\(x^2\) + 2) = \(x^3\) + 3\(x\) - 5

   y           = \(\dfrac{x^3+3x-5}{x^2+2}\)

   y          = \(\dfrac{x^3+2x+x-5}{x^2+2}\)

  y         =  \(\dfrac{x\left(x^2+2\right)+x-5}{x^2+2}\)

    y = \(x\) + \(\dfrac{x-5}{x^2+2}\) 

   y \(\in\) z ⇔ \(x\) - 5 ⋮ \(x^2\) + 2 (1)

               \(x\).(\(x-5\)) ⋮ \(x^2\) + 2 

               \(x^2\) - 5\(x\) ⋮ \(x^2\) + 2

               \(x^2\) + 2 - 5\(x\) - 2 ⋮ \(x^2\) + 2

                   5\(x\) + 2 ⋮  \(x^2\) + 2

                   5(\(x\) - 5) + 27 ⋮ \(x^2\) + 2  (2)

   Kết hợp (1) và (2) ta có:  27 ⋮ \(x^2\) + 2

       \(x^2\) + 2 \(\in\) Ư(27) = {1; 3; 9; 27}

         \(x^2\) \(\in\) {-1; 1; 7; 25}

        Vì \(x\) \(\in\) Z nên \(x^2\in\) {1; 25}

            \(x\) \(\in\) { \(\pm\)1; \(\pm5\)}

Lập bảng ta có:

\(x\)	- 5	-1	1	5
y = \(x+\dfrac{x-5}{x^2+2}\)	- \(\dfrac{145}{27}\)	-3	-\(\dfrac{1}{3}\)	5
\(x;y\in\) Z	Loại		loại

Vậy các cặp \(x;y\) nguyên thỏa mãn đề bài là:

      (\(x;y\)) = (-1; -3); (5; 5)