Cho \(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=1\)
Chứng minh rằng:
a) Trong 3 số a,b,c có một số bằng tổng của hai số kia.
b) Trong 3 phân thức ở vế trái có một phân thức bằng (-1) và hai phân thức bằng 1.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 9 2019
a. ĐK: a, b, c khác 0.
\(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}=1\)
\(\Leftrightarrow\left[\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-1\right]+\left[\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}+\frac{1}{2c}\left[\frac{c^2-\left(a^2-b^2\right)}{b}+\frac{c^2+\left(a^2-b^2\right)}{a}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}+\frac{1}{2c}\left[\frac{c^2\left(a+b\right)-\left(a^2-b^2\right)\left(a-b\right)}{ab}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}+\frac{\left(a+b\right)\left(c^2-\left(a-b\right)^2\right)}{2abc}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right]\left(1-\frac{a+b}{c}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(c-a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=b+c\)hoặc \(b=a+c\)hoặc \(c=a+b\).
b) Không mất tính tổng quả. G/s: a = b + c
Khi đó ta có:
\(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(b+c\right)^2+b^2-c^2}{2\left(b+c\right)b}=1\)
\(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{b^2+c^2-\left(b+c\right)^2}{2bc}=-1\)
\(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=\frac{c^2+\left(b+c\right)^2-b^2}{2\left(b+c\right)c}=1\)
=> Điều phải chứng minh.
10 tháng 12 2016
b/ không mất tính tổng quát ta giả sử: a = b + c thì
\(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{b^2+2bc+c^2-c^2}{2\left(b+c\right)b}=\frac{2b^2+2bc}{2b^2+2bc}=1\)
Tương tự
\(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}=\frac{2c^2+2ac}{2c^2+2ac}=1\)
\(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{-2bc}{2bc}=-1\)
Vậy trong ba số luôn có 2 số = 1 và 1 số = - 1
10 tháng 12 2016
\(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}+\frac{a^2-b^2+c^2}{2ca}=1\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b-2abc-a^3-b^3-c^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=b+c\)hoặc \(b=a+c\)hoặc \(c=a+b\)
Vậy trong 3 số có 1 số bẳng tổng 2 số kia
KK
30 tháng 5 2017
coi lại dấu " = " xảy ra khi nào dùm t ... , bài lm của m hay mak kl như cái qq ...
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 8 2019
Lời giải:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} a+b-c=x\\ b+c-a=y\\ c+a-b=z\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{x+z}{2}\\ b=\frac{x+y}{2}\\ c=\frac{y+z}{2}\end{matrix}\right.\) $(x,y,z>0$ do $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác.
Khi đó:
\(\text{VT}=\frac{(a+b)^2-c^2}{2ab}+\frac{(b+c)^2-a^2}{2bc}+\frac{(c+a)^2-b^2}{2ca}-3\)
\(=(a+b+c)\left(\frac{a+b-c}{2ab}+\frac{b+c-a}{2bc}+\frac{c+a-b}{2ca}\right)-3\)
\(=2(x+y+z)\left(\frac{x}{(x+y)(x+z)}+\frac{y}{(y+x)(y+z)}+\frac{z}{(z+x)(z+y)}\right)-3\)
\(=4(x+y+z).\frac{xy+yz+xz}{(x+y)(y+z)(x+z)}-3\)
\(=4.\frac{xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+3xyz}{(x+y)(y+z)(x+z)}-3=4.\frac{(x+y)(y+z)(x+z)+xyz}{(x+y)(y+z)(x+z)}-3\)
\(>4.\frac{(x+y)(y+z)(x+z)}{(x+y)(y+z)(x+z)}-3=4-3=1\)
Ta có đpcm.
\(\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 6 2019
Lời giải:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} a+b-c=x\\ b+c-a=y\\ c+a-b=z\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{x+z}{2}\\ b=\frac{x+y}{2}\\ c=\frac{y+z}{2}\end{matrix}\right.\) $(x,y,z>0$ do $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác.
Khi đó:
\(\text{VT}=\frac{(a+b)^2-c^2}{2ab}+\frac{(b+c)^2-a^2}{2bc}+\frac{(c+a)^2-b^2}{2ca}-3\)
\(=(a+b+c)\left(\frac{a+b-c}{2ab}+\frac{b+c-a}{2bc}+\frac{c+a-b}{2ca}\right)-3\)
\(=2(x+y+z)\left(\frac{x}{(x+y)(x+z)}+\frac{y}{(y+x)(y+z)}+\frac{z}{(z+x)(z+y)}\right)-3\)
\(=4(x+y+z).\frac{xy+yz+xz}{(x+y)(y+z)(x+z)}-3\)
\(=4.\frac{xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+3xyz}{(x+y)(y+z)(x+z)}-3=4.\frac{(x+y)(y+z)(x+z)+xyz}{(x+y)(y+z)(x+z)}-3\)
\(>4.\frac{(x+y)(y+z)(x+z)}{(x+y)(y+z)(x+z)}-3=4-3=1\)
Ta có đpcm.
\(\)
