Question

[Cẩm Bình 2006]

1. Tìm a thuộc Z để a-3 chia hết cho a²+2

2. Tìm x,y nguyên tố để x^2_2y=1

3. Cho p, p+d, p+2d là các số nguyên tố . Chứng minh rằng d chia hết cho 6

4. Cho 2^n+1 là hợp số. Chứng minh rằng 2^n-1 là hợp số

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

1. Giả sử \(a-3⋮a^2+2\Rightarrow\dfrac{a-3}{a^2+2}=A\) \(\left(A\in Z;A\ne0\right)\)

\(\Rightarrow a-3=A.a^2+2A\Rightarrow A.a^2-a+2A+3=0\)

\(\Delta=1-4A\left(2A+3\right)\ge0\Rightarrow-8A^2-12A+1\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{-3-\sqrt{11}}{4}\le A\le\dfrac{-3+\sqrt{11}}{4}\)

Mà A nguyên \(\Rightarrow A=0\) hoặc \(A=-1\)

\(A=0\Rightarrow a-3=0\Rightarrow a=3\)

\(A=-1\Rightarrow-a^2-a+1=0\) \(\Rightarrow\) pt ko có nghiệm nguyên

Vậy a=0 thì a-3 chia hết \(a^2+2\)

2. \(x^2-2y=1\Rightarrow2y=x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

Nếu x chẵn \(\Rightarrow x=2\Rightarrow\) y không phải số tự nhiên (loại)

Nếu x lẻ \(\Rightarrow x-1\) và \(x+1\) đều là số chẵn \(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮4\)

Đặt \(\left(x-1\right)\left(x+1\right)=4k\) với \(k\in N;k\ge1\)

\(\Rightarrow2y=4k\Rightarrow y=2k\)

Nếu \(k=1\Rightarrow y=2\Rightarrow x^2=2y+1=5\) \(\Rightarrow\) x không phải số tự nhiên (loại)

Nếu \(k>1\) \(\Rightarrow\) y là số chẵn lớn hơn 2 \(\Rightarrow\) y không phải là số nguyên tố

\(\Rightarrow\)Không tồn tại cặp số nguyên tố (x;y) nào để \(x^2-2y=1\)

3. Nếu d=0 =>d chia hết cho 6. Xét d>0, d là STN

Ta luôn có \(p>2\) do nếu \(p=2\Rightarrow p+2d=2\left(d+1\right)\) là hợp số, vô lý

\(\Rightarrow\) p là số lẻ \(\Rightarrow d\) là số chẵn (vì nếu d lẻ thì p+d chẵn là hợp số) \(\Rightarrow d⋮2\)

TH1: \(p=3a+1\)

Nếu \(d=3b+1\Rightarrow p+2d=3a+1+6b+2=3\left(a+2b+1\right)⋮3\)

\(\Rightarrow\) vô lý (do giả thiết p+2d là số nguyên tố)

Nếu \(d=3b+2\Rightarrow p+d=3a+1+3b+2=3\left(a+b+1\right)⋮3\) vô lý

Vậy \(d=3b\Rightarrow d⋮3\Rightarrow d⋮6\)

TH2: \(p=3a+2\)

Nếu \(d=3b+1\Rightarrow p+d=3a+2+3b+1=3\left(a+b+1\right)⋮3\) (loại)

Nếu \(d=3b+2\Rightarrow p+2d=3a+2+6b+4=3\left(a+2b+2\right)⋮3\) (loại)

Vậy \(d=3b⋮3\Rightarrow d⋮6\)

Kết luận: nếu p, p+d, p+2d là số nguyên tố thì d chia hết cho 6

4. Đề sai. Ta lấy ví dụ n=3 \(\Rightarrow2^3+1=9\) là hợp số, nhưng \(2^3-1=7\) là số nguyên tố

Hoặc \(n=5...\)