c/m: x^3/y +y^3/z +z^3/x >x^2 +y^2 +z^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 12 2018
1) Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
\(A\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^3+x^2y+xy^2+y^3+y^2z+yz^2+z^3+z^2x+x^2z}\)
\(=\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x\left(x^2+y^2+z^2\right)+y\left(x^2+y^2+z^2\right)+z\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}\ge\dfrac{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{x+y+z}=\dfrac{x+y+z}{3}=\dfrac{2012}{3}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2012}{3}\)
2)
Áp dụng bđt AM-GM:
\(\dfrac{x^3}{x^2+y^2}=x-\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\dfrac{xy^2}{2xy}=x-\dfrac{y}{2}\)
Chứng minh tương tự và cộng theo vế:
\(S\ge x-\dfrac{y}{2}+y-\dfrac{z}{2}+z-\dfrac{x}{2}=\dfrac{2015}{2}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2015}{3}\)
TN
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 10 2019
Vấn đề duy nhất của bài này là đánh giá cụm \(\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\)
Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau:
Với hai dãy số dương \(x\ge y\ge z\) và \(a\ge b\ge c\) ta luôn có: \(ax+by+cz\ge bx+cy+az\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)x+\left(b-c\right)y+\left(c-a\right)z\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)x-\left(a-b\right)y+\left(a-c\right)y-\left(a-c\right)z\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(x-y\right)+\left(a-c\right)\left(y-z\right)\ge0\) (luôn đúng)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3\ge y^3\ge z^3\\\frac{1}{y^2+z^2}\ge\frac{1}{z^2+x^2}\ge\frac{1}{x^2+y^2}\end{matrix}\right.\)
Áp dụng bổ đề ta có:
\(\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\ge\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^3+x^2}+\frac{x^3}{x^2+y^2}\)
Mặt khác: \(\frac{x^3}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2xy}=x-\frac{1}{2}y\)
Tương tự và cộng lại: \(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+z^2}\ge\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)-\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)\)
\(P\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\)
\(P\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z-1\right)^2-\frac{1}{3}\ge-\frac{1}{3}\)
\(P_{min}=-\frac{1}{3}\) khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
T
3 tháng 10 2019
Dễ dàng chứng minh được \(\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\ge\frac{x+y+z}{2}\)(khi nào rảnh em gõ ha! Giờ lười lắm:v)
Do đó \(P\ge x^2+y^2+z^2+\frac{x+y+z}{2}-\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)=\frac{t^2-2t}{3}\) (đặt t = x+y+z)
\(=\frac{\left(t^2-2t+1\right)-1}{3}=\frac{\left(t-1\right)^2-1}{3}\ge-\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\t=x+y+z=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
P/s: Is that true?
