Question

[Bolbbalgan4]

Cho hình vuông có cạnh bằng a, M,N,P ,là 3 điểm tương ứng trên ba cạnh BC,CD,AD sao cho tam giác MNP đều. a, Chứng minh CN^2-AP^2= 2BM*DP b, Xác định M,N,P sao cho diên tich tam giác MNP nhỏ nhất.

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Từ điểm M kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt AD tại Q.

Áp dụng ĐL Pytagore cho \(\Delta\)MCN vuông ở C và \(\Delta\)MQP vuông ở Q; ta có:

CM² + CN² = MN²;  MQ² + PQ² = MP²

\(\Delta\)MNP là tam giác đều nên MN = MP. Do đó: CM² + CN² = MQ² + PQ² (1)

Dễ thấy: Tứ giác ABMQ là hình chữ nhật => AQ = BM và MQ = AB = a      (2)

(1); (2) => CM² + CN² = a² + PQ² <=> (a - BM)² + CN² = a² + (AP - AQ)²

<=> a² - 2a.BM + BM² + CN² = a² + AP² - 2.AP.AQ + AQ²

<=> CN² - AP² = a² - 2.AP.AQ + AQ² - a² + 2a.BM - BM²

<=> CN² - AP² = 2a.BM - 2.AP.AQ + (AQ² - BM²)

<=> CN² - AP² = 2a.BM - 2.AP.BM   (Do AQ = BM theo cmt)

<=> CN² - AP² = 2.BM.(a - AP) <=> CN² - AP² = 2.BM.DP (đpcm).

b) Hạ đường cao NH của \(\Delta\)MNP: 

Ta có: cos 60⁰ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)=> NH = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).MN = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).MP (Vì \(\Delta\)MNP đều)

Theo quan hệ đường xiên hình chiếu: MP > MQ = a => NH > \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).a

=> S_MNP = MP.NH /2 > \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)a² 

Vậy Min S_MNP = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)a² .Dấu "=" xảy ra <=> N là trung điểm của DC và M;P nằm trên BC;AD cho ^CNM = ^DNP = 60⁰.

Answer 2

[Nguyễn Tất Đạt]

\(\sin60^0=\frac{\sqrt{3}}{2}\) mới đúng, bn sửa lại nhé.