tìm stn n để n3-4n2-2n+15 là số nguyên tố
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PL
1
NM
0
LV
1
DT
1
LD
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 2
Lời giải:
Gọi $d=ƯCLN(n+1, 4n^2-2n-5)$
$\Rightarrow n+1\vdots d; 4n^2-2n-5\vdots d$
$\Rightarrow 4(n+1)^2-(4n^2-2n-5)\vdots d$
$\Rightarrow 10n+9\vdots d$
$\Rightarrow 10(n+1)-1\vdots d$
Mà $n+1\vdots d$ nên $1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $n+1, 4n^2-2n-5$ nguyên tố cùng nhau. Để $(n+1)(4n^2-2n-5)$ là scp thì bản thân mỗi số $n+1, 4n^2-2n-5$ là scp.
Đặt $n+1=a^2; 4n^2-2n-5=b^2$
$\Rightarrow 4(a^2-1)^2-2(a^2-1)-5=b^2$
$\Leftrightarrow 4a^4-8a^2+4-2a^2+2-5=b^2$
$\Leftrightarrow 4a^4-10a^2+1=b^2$
$\Leftrightarrow 16a^4-40a^2+4=4b^2$
$\Leftrightarrow (4a^2-5)^2-21=4b^2$
$\Leftrightarrow 21=(4a^2-5)^2-(2b)^2=(4a^2-5-2b)(4a^2-5+2b)$
Đến đây là dạng phương trình tích cơ bản, chỉ cần xét các TH để tìm ra $a,b$
25 tháng 2 2023
\(P=\dfrac{n^3+3n^2+2n}{6}+\dfrac{2n+1}{1-2n}\)
Vì n^3+3n^2+2n=n(n+1)(n+2) là tích của 3 số liên tiếp
nên n^3+3n^2+2n chia hết cho 3!=6
=>Để P nguyên thì 2n+1/1-2n nguyên
=>2n+1 chia hết cho 1-2n
=>2n+1 chia hết cho 2n-1
=>2n-1+2 chia hết cho 2n-1
=>\(2n-1\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)
=>\(n\in\left\{1;0;\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2}\right\}\)
Ta có:
\(n^3-4n^2-2n+15=n^3-3n^2-n^2+3n-5n+15\)
\(=\left(n-3\right)\left(n^2-n-5\right)\)
Để \(n^3-4n^2-2n+15\)là số nguyên tố thì
\(\orbr{\begin{cases}n-3=1\\n^2-n-5=1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=4\\n=3\end{cases}}\)(vì \(n\)là số tự nhiên)
Với \(n=4\): \(n^3-4n^2-2n+15=7\)là số nguyên tố, thỏa mãn.
Với \(n=3\): \(n^3-4n^2-2n+15=0\)không là số nguyên tố, loại.