Cho tứ giác ABCD. Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA. M,N là trung điểm BD,AC. O là trung điểm EG. CMR: a. \(\overrightarrow{AB}\) \(\overrightarrow{CD}\) = \(\overrightarr...

1

TT

Thanh Thanh

23 tháng 7 2018

quá dễ

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

25 tháng 9 2023

Cho tứ giác ABCD gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {MN} \)

b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \)

1

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

25 tháng 9 2023

a) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} \\= \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MN} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right) \\= \overrightarrow 0 + 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN} \) (đpcm)

b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \)

\(\)\(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} \)

\(\left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AM} } \right) + \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MN} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right) = 2\overrightarrow {MN} \)

Mặt khác ta có: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {MN} \)

Suy ra \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \)

Cách 2:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DC} (đpcm)
\end{array}\)

HL

hoàng ling

17 tháng 8 2016

Cho Tứ giác ABCD có E,F,G,H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA

a)CM:Tứ giác EFGH là hình bình thành

b)gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC và BD

cm:các đường thẳng EG,FN,MN đồng quy

cho tứ giác ABCD . gọi M,N lần lượt là trung điểm AB và CD .cmr: a) 2\(\overrightarrow{mn}\)=\(\overrightarrow{AC}\)+\(\overrightarrow{BD}\)=\(\overrightarrow{BC}\)+\(\overrightarrow{AD}\)b)Lấy H trên AD , K trên BC sao cho \(\dfrac{HA}{HD}\)=\(\dfrac{KB}{KC}\). HK cắt MN tại I .cmr I là trung...

0

QN

Quỳnh Như

7 tháng 10 2021

Đọc tiếp

0

NT

Nguyễn Trịnh Trâm Anh

24 tháng 8 2021

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, O lần lượt là trung điểm của AC, BD, EF. Chứng minh:
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\)
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

24 tháng 8 2021

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\)

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\left(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{EA}\right)+\left(\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{FB}\right)+\left(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{EC}\right)+\left(\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{FD}\right)\)

\(=2\left(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{EF}\right)+\left(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EC}\right)+\left(\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FD}\right)\)

\(=2.\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)

A

anh

9 tháng 1 2021

Cho tứ giác ABCD có AC = BD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Biết EG = 5cm, HF = 4cm. Tính S EFGH.

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

9 tháng 1 2021

Xét ΔBAC có

E là trung điểm của BA(gt)

F là trung điểm của BC(gt)

Do đó: FE là đường trung bình của ΔBAC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒FE//AC và \(FE=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Xét ΔDAC có

H là trung điểm của AD(gt)

G là trung điểm của DC(gt)

Do đó: HG là đường trung bình của ΔDAC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒HG//AC và \(HG=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)

Từ (1) và (2) suy ra EF//HG và EF=HG

Xét tứ giác EFGH có

EF//HG(cmt)

EF=HG(cmt)

Do đó: EFGH là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Xét ΔBCD có

F là trung điểm của BC(gt)

G là trung điểm của CD(gt)

Do đó: FG là đường trung bình của ΔBCD(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒FG//BD và \(FG=\dfrac{BD}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(3)

Ta có: AC=BD(gt)

nên \(\dfrac{AC}{2}=\dfrac{BD}{2}\)(4)

Từ (2), (3) và (4) suy ra HG=FG

Hình bình hành EFGH có HG=FG(cmt)

nên EFGH là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)

⇒\(S_{EFGH}=\dfrac{1}{2}\cdot EG\cdot HF=\dfrac{1}{2}\cdot5\cdot4=10cm^2\)

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

24 tháng 9 2023

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 .\)

1

KS

Kiều Sơn Tùng

24 tháng 9 2023

Tham khảo:

Dễ thấy: \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} \); \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} \)

Tương tự: \(\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {NC} \); \(\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {ND} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {ON} + \overrightarrow {NC} } \right) + \left( {\overrightarrow {ON} + \overrightarrow {ND} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {ON} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right)\\ = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {ON} \\ = \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right)\\ = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 \\ = \overrightarrow 0 .\end{array}\)

TH

Thục Hiền

19 tháng 10 2021

cho tứ giác ABCD gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA.

a) chứng minh tứ giác EFGH là hình bình hành

b) Gọi O là trung điểm EG, chứng minh F đối xứng H qua O

c) các đường chéo AC, BD, của tứ giác ABCD có điều kiện tứ giác EFGH là hình chữ nhật

Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh:a) \(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = 4\overrightarrow {EG} \)b) \(\overrightarrow {EA} = 4\overrightarrow {EG} \)c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và \(\overrightarrow {AG} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AE}...

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

19 tháng 10 2021

a: Xét ΔABD có

E là trung điểm của AB

H là trung điểm của AD

Do đó: EH là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: EH//BD và \(EH=\dfrac{BD}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔBCD có

F là trung điểm của BC

G là trung điểm của DC

Do đó: FG là đường trung bình của ΔBCD

Suy ra: FG//BD và \(FG=\dfrac{BD}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra EH//GF và EH=GF

hay EHGF là hình bình hành

Đúng(1)

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

24 tháng 9 2023

Đọc tiếp

1

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

24 tháng 9 2023

a) Ta có: \(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} \)\( = 4\overrightarrow {EG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} \)

Mà: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GM} ;\) (do M là trung điểm của AB)

\(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GN} \) (do N là trung điểm của CD)

\( \Rightarrow \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = 4\overrightarrow {EG} + 2(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} ) = 4\overrightarrow {EG} \) (do G là trung điểm của MN)

b) Vì E là trọng tâm tam giác BCD nên \(\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = \overrightarrow 0 \)

Từ ý a ta suy ra \(\overrightarrow {EA} = 4\overrightarrow {EG} \)

c) Ta có: \(\overrightarrow {EA} = 4\overrightarrow {EG} \Leftrightarrow \overrightarrow {EA} = 4.(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AG} ) \Leftrightarrow - 3\overrightarrow {EA} = 4\overrightarrow {AG} \)

\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AE} = 4\overrightarrow {AG} \) hay \(\overrightarrow {AG} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AE} \)

Suy ra A, G, E thẳng hàng và \(AG = \frac{3}{4}AE \) nên G thuộc đoạn AE.

Đúng(1)

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

24 tháng 9 2023

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {MN} = \;\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} .\)

1

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

24 tháng 9 2023

Ta có:

\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {CN} } \right) + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \end{array}\)

Lại có:

\(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} .\)

Vậy \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {MN} = \;\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} .\)

T

TrịnhAnhKiệt

9 tháng 10 2023

Cho HBH ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi M, N lần lượt là gia điểm của BD với AF, CH.
a,CMR tứ giác EMGN là HBH
b,Tìm điều kiện của HBH ABCD để tứ giác EMGN là HCN

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

9 tháng 10 2023

a: Gọi O là giao của AC và BD

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét tứ giác AECG có

AE//CG

AE=CG

Do đó: AECG là hình bình hành

=>AG//CE và AG=CE

Xét tứ giác AHCF có

AH//CF

AH=CF

Do đó: AHCF là hình bình hành

=>AF//CH và AF=CH

Xét ΔANB có

E là trung điểm của AB

EM//AN

Do đó: M là trung điểm của BN

=>BM=MN

Xét ΔDMC có

G là trung điểm của DC

GN//MC

Do đó: N là trung điểm của DM

=>DN=MN=MB=1/3DB

DN=1/3DB

DO=1/2DB

Do đó: \(\dfrac{DN}{DO}=\dfrac{1}{3}:\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3}\)

Xét ΔADC có

DO là trung tuyến

DN=2/3DO

Do đó: N là trọng tâm

=>A,N,G thẳng hàng và C,N,H thẳng hàng

Xét ΔABC có

BO là trung tuyến

BM=2/3BO

Do đó: M là trọng tâm

=>A,M,F thẳng hàng và C,M,E thẳng hàng

Xét ΔEBM và ΔGDN có

EB=GD

\(\widehat{EBM}=\widehat{GDN}\)

BM=DN

Do đó: ΔEBM=ΔGDN

=>EM=GN

Xét tứ giác EMGN có

EM//GN

EM=GN

Do đó: EMGN là hình bình hành

b: Để EMGN là hình chữ nhật thì EG=NM

=>\(AD=\dfrac{BD}{3}\)