a, Cho 3 số x,y,z thỏa mãn yz > 0 . CMR : x2 yz $\ge$ 2$\sqrt{yz}$ Dấu = xảy ra khi nào ? b, Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn : x y z = 3 CMR : $\dfrac{x}{x \sqrt{3y yz}}$ \(\dfrac{y}{y \...

1

PA

Phương Ann

10 tháng 5 2018

$\text{Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn }x+y+z=3$

$\text{Chứng minh rằng }T=\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1$

➤➤➤Chứng minh:

➢ Áp dụng bất đẳng thức AM - GM

$\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}\left(\text{vì }x+y+z=3\right)=\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$

➢ Tương tự:

$\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$

$\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$

➢ Công vế theo vế 3 bất đẳng thức cùng chiều

$\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1$

➢ $\text{Đẳng thức xảy ra khi }x=y=z=1$

➤ $Max_T=1\Leftrightarrow x=y=z=1$

C

camcon

30 tháng 12 2021

Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn x+y+z = 3. CMR:

$\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1$

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

30 tháng 12 2021

$x+\sqrt{3x+yz}=x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}$

$=x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)$

$\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$

Tương tự:

$\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$ ; $\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$

Cộng vế với vế ta có đpcm

NP

Nguyễn Phan Văn Trường

24 tháng 12 2020

cho các số thực dưong x,y,z thỏa mãn : x²+y²+z²=3

chứng minh rằng : $\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge xy+yz+zx$

2

NP

Nguyễn Phan Văn Trường

24 tháng 12 2020

nhờ mn giúp mk bài này vs ạ

mk đang cần gấp !

cảm ơn mn nhiều

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

25 tháng 12 2020

Đặt $\left(\sqrt[3]{x};\sqrt[3]{y};\sqrt[3]{z}\right)=\left(a;b;c\right)$ $\Rightarrow a^6+b^6+c^6=3$

$a^6+a^6+a^6+a^6+a^6+1\ge6a^5$

Tương tự: $5b^6+1\ge6b^5$ ; $5c^6+1\ge6c^5$

Cộng vế với vế: $18=5\left(a^6+b^6+c^6\right)+3\ge6\left(a^5+b^5+c^5\right)$

$\Rightarrow3\ge a^5+b^6+b^5$

BĐT cần chứng minh: $\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3$

Ta có:

$\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge a+b+c$ (1)

Mà $3\left(a+b+c\right)\ge\left(a^5+b^5+c^5\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\ge3\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)$

$\Rightarrow a+b+c\ge a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3$ (2)

Từ (1);(2) $\Rightarrow$ đpcm

Đúng(2)

NV

Người Vô Danh

9 tháng 4 2022

cho 3 số x,y,z dương thỏa mãn x+y+z=3

chứng minh

$\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1$

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

9 tháng 4 2022

$\sqrt{3x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}=\sqrt{xy}+\sqrt{xz}$

$\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$

Tương tự:

$\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$ ; $\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$

Cộng vế:

$VT\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

NV

Người Vô Danh

9 tháng 4 2022

em cảm ơn thầy ạ

HN

hiền nguyễn

18 tháng 4 2023

Cho x, y, z >0 thỏa mãn : xyz=1. CMR :

$\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^2+x^2}}{xz}\ge3\sqrt{3}$

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

19 tháng 4 2023

$\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}>=\sqrt{\dfrac{3}{xy}}$

$\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}>=\sqrt{\dfrac{3}{yz}}$

$\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}>=\sqrt{\dfrac{3}{xz}}$

=>$VT>=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)=3\sqrt{3}$

Đúng(2)

E

Eren

9 tháng 1 2018

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x² + y² + z² = 3. CMR $\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge xy+yz+zx$

#Toán lớp 10

5

DT

Dong tran le

9 tháng 1 2018

Bài này cũng dễ mà:

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

$y+z+1\ge3\sqrt[3]{yz}$

$\Rightarrow$$\dfrac{y+z+1}{3}\ge\sqrt[3]{yz}$

$\Rightarrow$$\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\dfrac{3x}{y+z+1}$

$\Rightarrow$$\sum\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\sum\dfrac{3x}{y+z+1}$

Mà $\sum\dfrac{3x}{y+z+1}=\sum\dfrac{3x^2}{xy+xz+x}$

Áp dụng BĐT Cauchy -Schwaz:

$\sum\dfrac{3x^2}{xy+xz+x}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}$

Mà:

$xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2$(BĐT phụ)

$\Rightarrow$$2\left(xy+yz+xz\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)=6$

Áp dụng BĐT Bunhicopski:

$\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=9$

$\Rightarrow x+y+z\le3$

$\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z\le6+3=9$

$\Rightarrow$$\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{9}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge xy+yz+xz\left(ĐPCM\right)$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$x=y=z=1

E

Eren

9 tháng 1 2018

@Lightning Farron vào thể hiện đẳng cấp đi anh zai :))

MH

michelle holder

12 tháng 3 2017

Câu hỏi hay

cho x,y,z >0 thỏa $x^2+y^2+z^2=3$ CMR

$\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge xy+yz+xz$

2

N

Neet

12 tháng 3 2017

solution:

ta có: $3=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Leftrightarrow xyz\le1$(theo BĐT cauchy cho 3 số )

$\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{z};yz\le\dfrac{1}{x};xz\le\dfrac{1}{y}$

$\Rightarrow\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\dfrac{x}{\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}=x\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x^4}$

tương tự ta có:$\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}\ge\sqrt[3]{y^4};\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\sqrt[3]{z^4}$

cả 2 vế các BĐT đều dương,cộng vế với vế:

$S=\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{z^4}$

Áp dụng BĐT bunyakovsky ta có:

$\left(\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{z^4}\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(\sqrt[3]{x^8}+\sqrt[3]{y^8}+\sqrt[3]{z^8}\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2$

$\Rightarrow S\ge x^2+y^2+z^2$

đến đây ta lại có BĐT quen thuộc: $x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz$

$\Rightarrow S\ge xy+yz+xz\left(đpcm\right)$

dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z mà x²+y²+z²=3 => x=y=z=1

*cách khác : Áp dụng BĐT cauchy - schwarz(bunyakovsky):

$S=\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\dfrac{x^4}{x^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}+\dfrac{y^4}{y^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}}+\dfrac{z^4}{z^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{z}}}$

$S\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz$

MH

michelle holder

13 tháng 3 2017

cái cách 2 là svac mà nhỉ

PH

Phạm Hà Chi

20 tháng 9 2018

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$

$CMR:\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge xy+yz+xz$

3

AN

alibaba nguyễn

21 tháng 9 2018

$3=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$

$\Rightarrow xyz\le1$

$\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\le\frac{x^2+1+1}{3}+\frac{y^2+1+1}{3}+\frac{z^2+1+1}{3}=3$

Ta co:

$A=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{x\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{y\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{z\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{xyz}}$

$\ge x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}$

$\Rightarrow3A\ge3\left(x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\right)\ge\left(x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\right)\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\right)$

$\ge\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)$

$\Rightarrow A\ge xy+yz+zx$

KN

Kiệt Nguyễn

25 tháng 5 2020

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz, ta có: $3\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2$

$\Rightarrow x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=3=x^2+y^2+z^2$(Do $x^2+y^2+z^2=3$)

Ta có: $\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{x}{\sqrt[3]{yz.1}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx.1}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy.1}}$

$\ge\frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}+\frac{y}{\frac{z+x+1}{3}}+\frac{z}{\frac{x+y+1}{3}}$$=\frac{3x}{y+z+1}+\frac{3y}{z+x+1}+\frac{3z}{x+y+1}$

$=\frac{3x^2}{xy+zx+x}+\frac{3y^2}{yz+xy+y}+\frac{3z^2}{zx+yz+z}$$\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)}$(Theo BĐT Cauchy - Schwarz dạng Engle)

$\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+x^2+y^2+z^2}=\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3=x^2+y^2+z^2$

$\ge xy+yz+zx$

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

a)Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn x+y+z=3.Chứng minh rằng :$\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}$+$\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}$+$\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}$≤1b)Chứng minh rằng: $\dfrac{a+b+c}{\sqrt{a\left(a+3b\right)}+\sqrt{b\left(b+3c\right)}+\sqrt{c\left(c+3a\right)}}$≥$\dfrac{1}{2}$với a,b,c là các số...

K

kietdvjjj

26 tháng 7 2021

Đọc tiếp

2

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

26 tháng 7 2021

a.

$\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}$

$\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$

Tương tự:

$\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$ ; $\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$

Cộng vế:

$VT\le\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

26 tháng 7 2021

b.

$VP=\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2\sqrt{4a\left(a+3b\right)}+2\sqrt{4b\left(b+3c\right)}+2\sqrt{4c\left(c+3a\right)}}$

$VP\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{4a+a+3b+4b+b+3c+4c+c+3a}$

$VP\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{8\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

PK

phạm kim liên

16 tháng 8 2021

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: xy+yz+zx=2017. chứng minh : $\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+2017}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y^2+2017}}+\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+2017}}\le\dfrac{3}{2}$

1

EC

Edogawa Conan

16 tháng 8 2021

Ta có:$\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+2017}}=\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+xy+yz+zx}}=\sqrt{\dfrac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}$

$=\sqrt{\dfrac{y}{x+y}\cdot\dfrac{z}{x+z}}\le\dfrac{\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z}}{2}$

Tương tự ta có:$\sqrt{\dfrac{zx}{y^2+2017}}\le\dfrac{\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{z}{y+z}}{2}$

$\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+2017}}\le\dfrac{\dfrac{y}{z+y}+\dfrac{x}{x+z}}{2}$

Cộng vế với vế ta có:

$\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+2017}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y^2+2017}}+\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+2017}}$

$\le\dfrac{\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z}+\dfrac{z}{z+y}+\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{z+y}+\dfrac{x}{x+z}}{2}$

$=\dfrac{\dfrac{x+y}{x+y}+\dfrac{y+z}{y+z}+\dfrac{z+x}{z+x}}{2}=\dfrac{1+1+1}{2}=\dfrac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{\sqrt{2017}}{\sqrt{3}}$

M

Minh

8 tháng 4

Tại sao x=y=z=$\sqrt{\dfrac{2017}{3}}$ vậy ạ?