K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 4 2018

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((x+y)(x+z)\geq (x+\sqrt{yz})^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}.\frac{\sqrt{y+z}}{x}\geq \frac{(y+z)(x+\sqrt{yz})}{x}=y+z+\frac{\sqrt{yz}(y+z)}{x}\)

Hoàn toàn tương tự :

\(\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}.\frac{\sqrt{x+z}}{y}\geq x+z+\frac{\sqrt{xz}(x+z)}{y}\)

\(\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}.\frac{\sqrt{x+y}}{z}\geq x+y+\frac{\sqrt{xy}(x+y)}{z}\)

Cộng theo vế:

\(T\geq 2(x+y+z)+\underbrace{\frac{(x+y)\sqrt{xy}}{z}+\frac{(y+z)\sqrt{yz}}{x}+\frac{(z+x)\sqrt{zx}}{y}}_{M}\)

Ta có:

\(M=\frac{(\sqrt{2}-z)\sqrt{xy}}{z}+\frac{(\sqrt{2}-x)\sqrt{yz}}{x}+\frac{(\sqrt{2}-y)\sqrt{xz}}{y}\)

\(=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{xy}}{z}+\frac{\sqrt{yz}}{x}+\frac{\sqrt{xz}}{y}\right)-(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{\sqrt{xy}}{z}+\frac{\sqrt{yz}}{x}+\frac{\sqrt{xz}}{y}\geq 3\sqrt[3]{\frac{xyz}{xyz}}=3\)

\(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\leq \frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z=\sqrt{2}\)

Do đó: \(M\geq 3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow T\geq 2(x+y+z)+M\geq 2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)

Vậy \(T_{\min}=4\sqrt{2}\)

30 tháng 5 2017

\(M^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2xy}{\sqrt{yz}}+\frac{2yz}{\sqrt{zx}}+\frac{2xz}{\sqrt{yz}}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)

Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{x^2}{y}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\frac{x^2}{y}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.z}=4x\)

tương tự \(\frac{y^2}{z}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+x\ge4y\);\(\frac{z^2}{x}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+y\ge4z\)

=>\(M^2+x+y+z\ge4\left(x+y+z\right)\Rightarrow M^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge3.12=36\Rightarrow M\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=4

Vậy minM=6 khi x=y=z=4

30 tháng 5 2017

b1: Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta được:

\(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+y+y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)

=>minP=1 <=> x=y=z=2/3

24 tháng 9 2017

Áp dụng BĐT bunyakovsky:

\(\sum\dfrac{x^2}{y+z}\ge\sum\dfrac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+y^2}=a\\\sqrt{y^2+z^2}=b\\\sqrt{z^2+x^2}=c\end{matrix}\right.\) thì có a+b+c=2016 và cần tìm Min của \(\sum\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2\sqrt{2}b}\) (\(x^2=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2}\))

Ta có: \(\sum\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2\sqrt{2}b}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.\left(\sum_{sym}\dfrac{a^2}{b}-\sum b\right)\)

Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:

\(\sum_{sym}\dfrac{a^2}{b}=\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{a}+\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{c}\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=2\left(a+b+c\right)\)

DO đó \(VT\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(2\sum a-\sum a\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(a+b+c\right)=\dfrac{2016}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1008}{\sqrt{2}}\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c hay \(x=y=z=\dfrac{672}{\sqrt{2}}\)

1 tháng 5 2018

bạn vào trang này nhé có bài như thến này đấy 

//123doc.org//document/3173507-ren-luyen-chuyen-de-tim-maxmin-on-thi-thpt-quoc-gia.htm

20 tháng 5 2020

tính diện tích hình vẽ dưới đây

42.4 cm 25.7 cm 30cm 48.4cm 23m 31.6m

26 tháng 4 2021

Áp dụng bđt phụ \(\sqrt{ \left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\)có 

\(VT=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}+\frac{y}{y+\sqrt{\left(y+x\right)\left(z+y\right)}}+\frac{z}{z+\sqrt{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)

\(\le\frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}+\frac{y}{y+\sqrt{yz}+\sqrt{yx}}+\frac{z}{z+\sqrt{zx}+\sqrt{zy}}\)

\(=\frac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}+\frac{y}{\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}+\frac{z}{\sqrt{z}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)

26 tháng 4 2021

bạn sửa lại đề đi ạ

8 tháng 4 2021

Áp dụng bđt bunhiacopxki, ta có:

\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(1+16\right)\ge\left(x+\frac{4}{x}\right)^2\) => \(x^2+\frac{1}{x^2}\ge\frac{\left(x+\frac{4}{x}\right)^2}{17}\)

=> \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{x+\frac{4}{x}}{\sqrt{17}}=\frac{x}{\sqrt{17}}+\frac{4}{x\sqrt{17}}\)

CMTT: \(\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{y}{\sqrt{17}}+\frac{4}{\sqrt{17}y}\)

\(\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{z}{\sqrt{17}}+\frac{4}{\sqrt{17}z}\)

=> A \(\ge\frac{x+y+z}{\sqrt{17}}+\frac{4}{\sqrt{17}}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{x+y+z}{\sqrt{17}}+\frac{36}{\sqrt{17}\left(x+y+z\right)}\)(bđt: 1/a + 1/b + 1/c > = 9/(a+b+c)

=> A \(\ge\frac{16\left(x+y+z\right)}{\sqrt{17}}+\frac{36}{\sqrt{17}\left(x+y+z\right)}-\frac{15\left(x+y+z\right)}{\sqrt{17}}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{16\left(x+y+z\right)}{\sqrt{17}}\cdot\frac{36}{\sqrt{17}\left(x+y+z\right)}}-\frac{15\cdot\frac{3}{2}}{\sqrt{17}}\)(Bđt cosi + bđt: x + y + z < = 3/2)

\(\ge\frac{48}{\sqrt{17}}-\frac{45}{2\sqrt{17}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y= z = 1/2

Vậy MinA = \(\frac{3\sqrt{17}}{2}\) <=> x = y = z = 1/2

7 tháng 10 2018

\(\frac{x+\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)^2}{y+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2}=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2-y+\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)^2}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2-x+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)+\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)^2}{\left(2\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)\left(2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-2\sqrt{z}\right)}{\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-2\sqrt{z}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{z}}{\sqrt{y}-\sqrt{z}}\)