K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

19 tháng 10 2015

Với a,b không âm,áp dụng CAUCHY 2 lần ta có

\(a+4b\ge2\sqrt{4ab}=4\sqrt{ab}\)(1)

\(1+4ab\ge2\sqrt{4ab}=4\sqrt{ab}\)(2)

Nhân 2 vế của (1) và (2) ta có:\(\left(a+4b\right)\left(1+4ab\right)\ge16ab\)

Lại chia cả 2 vế cho (1+4ab) ta được điều cần cminh...

19 tháng 10 2015

các bạn ơi **** mình cái mình đang cần khôi phục ****

25 tháng 3 2019

Nên bổ sung thêm đk a,b không âm

\(a+4b\ge\frac{16ab}{1+4ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+4b\right)\left(1+4ab\right)\ge16ab\)

AM-GM:\(a+4b\ge4\sqrt{ab};1+4ab\ge4\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\left(a+4b\right)\left(1+4ab\right)\ge16ab\left(đpcm\right)\)

11 tháng 5 2018

Từ \(a+b=4ab\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4\)

\(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b}\right)\rightarrow\left(x;y\right)\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=4\\\frac{x^2}{4y+x^2y}+\frac{y^2}{4x+xy^2}\ge\frac{1}{2}\end{cases}}\)

C-S: \(VT\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)+xy\left(x+y\right)}\)\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)+\left(x+y\right)\cdot\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\frac{1}{2}\)

13 tháng 5 2018

vào tcn của tui ấn vào Thông kê hỏi đáp kéo xuống

14 tháng 5 2018

là thế nào bạn ơi

23 tháng 2 2019

\(a+b=4ab\le\left(a+b\right)^2\)

\(\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}=\frac{a^2}{4b^2a+a}+\frac{b^2}{4a^2b+b}\)

\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4ab\left(a+b\right)+\left(a+b\right)}=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

23 tháng 2 2019

Cảm ơn bạn nhé.

27 tháng 6 2020

\(a+b=4ab\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4\Rightarrow4\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow a+b\ge1\)

\(\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}=\frac{a\left(4b^2+1\right)-4ab^2}{4b^2+1}+\frac{b\left(4a^2+1\right)-4a^2b}{4a^2+1}\)

\(=a-\frac{4ab^2}{4b^2+1}+b-\frac{4a^2b}{4a^2+1}\)

\(=a+b-\left(\frac{ab^2}{4b^2+1}+\frac{4a^2b}{4a^2+1}\right)\)

\(\ge a+b-\left(\frac{4ab^2}{4b}+\frac{4a^2b}{4a}\right)=a+b-2ab\)

Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow-\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\le-2ab\)

\(\Rightarrow a+b-2ab\ge a+b-\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

NV
5 tháng 5 2021

\(\dfrac{9}{4}=ab+a+b+1\le\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+a+b+1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+4\left(a+b\right)-5\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-1\right)\left(a+b+5\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a+b-1\ge0\) (do \(a+b+5>0\))

\(\Rightarrow a+b\ge1\)

b.

\(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\ge\dfrac{1}{2}.1^2=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)

17 tháng 2 2019

\(\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}=\dfrac{a\left(4b^2+1\right)}{4b^2+1}-\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}+\dfrac{b\left(4a^2+1\right)}{4a^2+1}-\dfrac{4a^2b}{4b^2+1}\)

\(\ge a-\dfrac{4ab^2}{4b}+b-\dfrac{4a^2b}{4a}\) (bđt Cô-si)

=a-ab+b-ab=a+b-2ab=4ab-2ab=2ab

Lại có a+b=4ab \(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4\ge\dfrac{2}{2\sqrt{ab}}\Rightarrow4\sqrt{ab}\ge2\Rightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow2ab\ge\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

17 tháng 2 2019

\(\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow a-\dfrac{a}{4b^2+1}+b-\dfrac{b}{4a^2+1}\le a+b-\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}+\dfrac{4ba^2}{4a^2+1}\le4ab-\dfrac{1}{2}\)

\(\sum\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}\le^{CS}2ab\)

\(\Rightarrow CM:2ab\le4ab-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)

Từ GT \(\Rightarrow4ab=a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow dpcm\)