K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 2 2018

Lời giải:

Đặt biểu thức đã cho là $A$

\(A=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow A^2=x^2+y^2+xy+2\sqrt{xy(x^2+y^2)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^2+y^2\geq 2xy\Rightarrow 2\sqrt{xy(x^2+y^2)}\geq 2\sqrt{xy.2xy}\geq xy\) do \(x,y\geq 0\)

\(\Rightarrow A^2\geq x^2+y^2+xy+xy\Leftrightarrow A^2\geq (x+y)^2=4\)

\(\Leftrightarrow A\geq 2\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \((x,y)=(2,0)\) và hoán vị.

Mặt khác:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(A^2=(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy})^2\leq (x^2+y^2+2xy)(1+\frac{1}{2})\)

\(\Leftrightarrow A^2\leq (x+y)^2.\frac{3}{2}=4.\frac{3}{2}=6\)

\(\Leftrightarrow A\leq \sqrt{6}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \((x,y)=\left(\frac{3+\sqrt{3}}{3}; \frac{3-\sqrt{3}}{3}\right)\)

11 tháng 2 2018

cách làm cho lớp 9

\(2=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le1\)

\(x;y\ge0\Rightarrow xy\ge0\) \(0\le xy\le1\)

đặt x y =t => 0<=t<=1

\(A=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}=\sqrt{4-2t}+\sqrt{t}\)

\(A>0;A^2=4-t+2\sqrt{4t-2t^2}\)

m =A^2 -4 \(\Leftrightarrow m+t=\sqrt{4t-2t^2}\)

m +t >= 0=> m>=-1

\(\Leftrightarrow m^2+2mt+t^2=4\left(4t-2t^2\right)\)

\(9t^2+2\left(m-8\right)t+m^2=0\)

\(\Delta'\ge0\Leftrightarrow\left(m-8\right)^2-9m^2\ge0\Rightarrow-8m^2-2.8m+64\ge0\)

\(-4\le m\le2\)

với m =2 => t=2/3 đảm bảo điều kiện => GTLN m =2

m cần đảm bảo điều kiện

m+t>=0

\(\Leftrightarrow m+\dfrac{-\left(m-8\right)-\sqrt{-8m^2-18m+64}}{9}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{9m-\left(m-8\right)-\sqrt{-8m^2-18m+64}}{9}\ge0\)

\(\Leftrightarrow8m+8\ge\sqrt{-8m^2-18m+64}\)

m>=-1 => 8m+8 >=0

\(\Leftrightarrow64m^2+2.8.8m+64\ge-8m^2-18m+64\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le-2\\m\ge0\end{matrix}\right.\) đang xét m>=1 => m>=0

=> \(0\le m\le2\)

\(0\le A^2-4\le2\Leftrightarrow4\le A^2\le6\)

\(A>0\Rightarrow2\le A\le\sqrt{6}\) =>dpcm

đẳng thức khi t =0 ; t=2/3

\(t=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x;y\right)=\left(2;0\right)\\\left(x;y\right)=\left(0;2\right)\end{matrix}\right.\)

\(t=\dfrac{2}{3}\) giải hệ

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\xy=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

x;y là nghiệm pt : \(3z^2-6z+2=0\)

\(\Delta=9-6=3\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3\pm\sqrt{3}}{3};\dfrac{3\mp\sqrt{3}}{3}\right)\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\sqrt{\frac{xy}{xy+z}}=\sqrt{\frac{xy}{xy+z(x+y+z)}}=\sqrt{\frac{xy}{(z+x)(z+y)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{z+y}\right)\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại suy ra:

\(\sum \sqrt{\frac{xy}{xy+z}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+z}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{x+y}{x+y}\right)=\frac{3}{2}\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

30 tháng 11 2019

ta có : \(x\sqrt{2017-y^2}\le\frac{x^2+2017-y^2}{2}\)

\(y\sqrt{2017-x^2}\le\frac{y^2+2017-x^2}{2}\)

Do đó \(x\sqrt{2017-y^2}+y\sqrt{2017-x^2}\le2017\)

dấu = xảy ra khi và chỉ khi :\(\hept{\begin{cases}x^2=2017-y^2\\y^2=2017-x^2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)=2.2017\)(cộng vế với vế)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=2017\)

3 tháng 5 2020

Từ gt => \(\hept{\begin{cases}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{x}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{y}\right)\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}\sqrt{xy}\left(1\right)\\x\sqrt{x}\le x\cdot\frac{1}{\sqrt{2}};y\sqrt{y}\le y\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x+y\right)\left(2\right)\end{cases}}\)

Lại có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{xy}\le xy+\frac{1}{4}\\\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{xy}\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(xy+\frac{1}{4}\right)\left(3\right)\\\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{xy}\le\frac{\sqrt{2}}{6}\left(x+y\right)\left(4\right)\end{cases}}}\)

Từ (1)(2)(3)(4) ta có:\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x+y\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(xy+\frac{1}{4}\right)+\frac{\sqrt{2}}{6}\left(x+y\right)\)

\(\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(1+x+y+xy\right)\)

=> \(VT=\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x}=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{y}}{1+x+y+xy}\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=\(\frac{1}{2}\)

3 tháng 5 2020

Từ gt => \(\hept{\begin{cases}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y\right)\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}\sqrt{xy}\left(1\right)\\x\sqrt{x}\le x\cdot\frac{1}{\sqrt{2}};y\sqrt{y}\le y\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x+y\right)\left(2\right)\end{cases}}\)

Lại có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{xy}\le xy+\frac{1}{4}\\\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{xy}\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(xy+\frac{1}{4}\right)\left(3\right)\\\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{xy}\le\frac{\sqrt{2}}{6}\left(x+y\right)\left(4\right)\end{cases}}}\)

Từ (1)(2)(3) và (4) ta có:

\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x+y\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(xy+\frac{1}{4}\right)+\frac{\sqrt{2}}{6}\left(x+y\right)\)

\(\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(1+x+y+xy\right)\)

=> \(VT=\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x}=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{y}}{1+x+y+xy}\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)