cho tứ giác ABCD .gọi M,N là trung điểm các cạnh AD,BC .Chứng minh MN ≤(AB+CD) :2.Dấu bằng xảy ra khi nào ?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 7 2018
Nối đường chéo BD của tứ giác ABCD. Lấy I là trung điểm của đoạn BD, nối IM và IN.
Xét \(\Delta\)BAD: I là trung điểm BD; M là trung điểm AD => IM là đường trung bình của tam giác BAD
=> IM = 1/2 AB. Tương tự ta có: IN = 1/2 CD \(\Rightarrow IM+IN=\frac{AB+CD}{2}\)
Mà \(IM+IN\ge MN\)(T/c 3 điểm) \(\Rightarrow\frac{AB+CD}{2}\ge MN\)
Vậy \(MN\le\frac{AB+CD}{2}\)(đpcm).
Dấu "=" xảy ra <=> I thuộc đoạn MN <=> MN // AB // CD (Do IM // AB và IN // CD) <=> Tứ giác ABCD là hình thang.
NB
0
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
24 tháng 9 2023
Ta có:
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} \)
Mặt khác: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {CN} } \right) + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \end{array}\)
Lại có:
\(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} .\)
Vậy \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {MN} = \;\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} .\)
24 tháng 8 2016
Gọi P là trung điểm của BD. Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, ta có:
\(MP=\frac{1}{2}AB\)
\(NP=\frac{1}{2}CD\)
do đó: MP + NP = \(\frac{1}{2}\) (AB + CD)
mặt khác: MN \(\le\) MP + NP
vì vậy MN \(\le\) \(\frac{\left(AB+CD\right)}{2}\)
ko bít đúng ko !!! 5654667565689857954524246464363464564545756567568534
12 tháng 10 2017
Gọi M là trung điểm của AC, ta có:
\(GE\le GM+ME=\dfrac{1}{2}CD+\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{AB+CD}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) Ba điểm M, G, E thẳng hàng.
\(\Leftrightarrow\) GE // AB và GE // CD \(\Leftrightarrow\) AB // CD
\(\Leftrightarrow\) Tứ giác ABCD là hình thang.
5 tháng 10 2021
Gọi K là trung điểm BD
Xét tam giác ABD có:
Mlà trung điểm AD
K là trung điểm BD
=> MK là đường trung bình
\(\Rightarrow MK=\dfrac{1}{2}AB\left(1\right)\)
Xét tam giác BDC có:
K là trung điểm BD
N là trung điểm BC
=> NK là đường trung bình
\(\Rightarrow NK=\dfrac{1}{2}DC\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow MK+NK=\dfrac{1}{2}\left(BC+DC\right)\)
Mà \(MK+NK\ge MN\)(bất đẳng thức trong tam giác KMN)
\(\Rightarrow MN\le\dfrac{AB+DC}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow MK+NK=MN\)
\(\Leftrightarrow\) K là trung điểm MN
