K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

22 tháng 1 2018

Hỏi đáp Toán

chúc bạn học tốt ^ ^

22 tháng 1 2018

Ta có: \(A=a\left(a^2-bc\right)+b\left(b^2-ac\right)+c\left(c^2-ab\right)=0\)

\(\Rightarrow A=a^3+b^3+c^3-3abc=0\) \(\Rightarrow A=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Rightarrow A=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Rightarrow A=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

Vì \(a+b+c\ne0\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\)

Xét \(M=a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\)

\(\Rightarrow2M=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)

\(\Rightarrow2M=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

\(\Rightarrow a-b=0;b-c=0;c-a=0\) \(\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow P=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=1+1+1=3\) 

NV
9 tháng 1

Ta có:

\(a+b+c-abc=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+c\left(a+b\right)\right)-abc\)

\(=\left(a+b\right)ab+\left(a+b\right)^2c+abc+c^2\left(a+b\right)-abc\)

\(=\left(a+b\right)\left(ab+c^2+c\left(a+b\right)\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(ab+ac+c^2+bc\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left[a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\right]\)

\(=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)

Đồng thời:

\(a^2+1=a^2+ab+bc+ac=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

Tương tự:

\(b^2+1=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)

\(c^2+1=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

Từ đó:

\(P=\dfrac{\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

\(=\dfrac{\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2}{\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2}=1\)

NV
23 tháng 1 2021

\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)

\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)

\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)

\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)

\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

NV
31 tháng 1 2021

Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)\Rightarrow x+y+z=3\)

\(K=\dfrac{z^3}{x^2+z^2}+\dfrac{x^3}{x^2+y^2}+\dfrac{y^3}{y^2+z^2}\)

Ta chứng minh BĐT phụ sau: \(\dfrac{x^3}{x^2+y^2}\ge\dfrac{2x-y}{2}\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(2x^3\ge2x^3-x^2y+2xy^2-y^3\)

\(\Leftrightarrow y\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)

Tương tự: \(\dfrac{y^3}{y^2+z^2}\ge\dfrac{2y-z}{2}\) ; \(\dfrac{z^3}{z^2+x^2}\ge\dfrac{2z-x}{2}\)

Cộng vế với vế:

\(K\ge\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

NV
17 tháng 3 2022

\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc\left(a^2+1\right)^2\left(b^2+1\right)^2\left(c^2+1\right)^2}{a^2b^2c^2\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}}=3\sqrt[3]{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{abc}}\)

\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3}}=9\sqrt[3]{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{\left(a+b+c\right)^3}}\ge9\sqrt[3]{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{2\left(a+b+c\right)^2}}\)

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số \(a^2;b^2;c^2\) luôn có ít nhất 2 số cùng phía so với \(\dfrac{4}{9}\)

Không mất tính tổng quát, giả sử đó là \(a^2;b^2\)

\(\Rightarrow\left(a^2-\dfrac{4}{9}\right)\left(b^2-\dfrac{4}{9}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+\dfrac{16}{81}\ge\dfrac{4}{9}a^2+\dfrac{4}{9}b^2\)

\(\Rightarrow a^2b^2+a^2+b^2+1\ge\dfrac{13}{9}a^2+\dfrac{13}{9}b^2+\dfrac{65}{81}\)

\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\dfrac{13}{9}\left(a^2+b^2+\dfrac{5}{9}\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\dfrac{13}{9}\left(a^2+b^2+\dfrac{5}{9}\right)\left(c^2+1\right)\)

\(=\dfrac{13}{9}\left(a^2+b^2+\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}\right)\left(\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}+c^2+\dfrac{1}{9}\right)\)

\(\ge\dfrac{13}{9}\left(\dfrac{2}{3}a+\dfrac{2}{3}b+\dfrac{2}{3}c+\dfrac{1}{9}\right)^2\)

\(\Rightarrow P\ge9\sqrt[3]{\dfrac{\dfrac{13}{9}\left(\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)+\dfrac{1}{9}\right)^2}{2\left(a+b+c\right)^2}}=9\sqrt[3]{\dfrac{13}{18}\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{9\left(a+b+c\right)}\right)^2}\)

\(P\ge9\sqrt[3]{\dfrac{13}{18}\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{9.2}\right)^2}=\dfrac{13}{2}\)

\(P_{min}=\dfrac{13}{2}\) khi \(a=b=c=\dfrac{2}{3}\)

17 tháng 3 2022

Thầy cho em hỏi cơ sở để ta nghĩ ra dòng

\(\left(a^2-\dfrac{4}{9}\right)\left(b^2-\dfrac{4}{9}\right)\ge0\) này là gì ạ?

Theo cá nhân em thấy cách giải này hay và dễ hiểu, và có lẽ cũng dựa vào điểm rơi nhưng hình như lời giải chưa tự nhiên lắm thì phải ạ. Thầy có cách nào nữa không thầy? Em cảm ơn ạ.

 

NV
21 tháng 8 2021

\(Q=\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+bc}}\ge\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(b+c\right)^2}}=\dfrac{2}{3}\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{b+c}\)

\(Q\ge\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)=\dfrac{4}{3}\)

21 tháng 8 2021

∑ cái này nghĩa là gì ạ

AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 2

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=2(\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2})+\frac{1}{2(ab+bc+ac)}\\ \geq 2.\frac{9}{2(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2(ab+bc+ac)}\\ =\frac{18}{(a+b+c)^2}+\frac{1}{2(ab+bc+ac)}\\ =18+\frac{1}{2(ab+bc+ac)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

$2(ab+bc+ac)\leq 2.\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{2(ab+bc+ac)}\geq \frac{3}{2}$

$\Rightarrow P\geq 18+\frac{3}{2}=\frac{39}{2}$
Vậậy $P_{\min}=\frac{39}{2}$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

17 tháng 9 2023

Ta có: \(a^2+1=a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(c+a\right)\)

Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}b^2+1=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\\c^2+1=\left(c+a\right)\left(b+c\right)\end{matrix}\right.\)

=> \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\)

Mặt khác: \(a+b+c-abc=a\left(1-bc\right)+b+c\)

                \(=a\left(ab+ca\right)+b+c\)     (Vì ab+bc+ca=1)

               \(=\left(a^2+1\right)\left(b+c\right)\)

               \(=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)    (Vì \(a^2+1=\left(a+b\right)\left(c+a\right)\))

\(T=1\)

1 tháng 1 2021

Ta có: \(2\left(b^2+bc+c^2\right)=2b^2+2c^2+2bc\le2b^2+2c^2+b^2+c^2=3\left(b^2+c^2\right)\Rightarrow b^2+c^2\le3-a^2\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le3\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\).

Áp dụng bđt Schwars ta có:

\(T\ge a+b+c+\dfrac{18}{a+b+c}=\left(a+b+c+\dfrac{9}{a+b+c}\right)+\dfrac{9}{a+b+c}\ge2\sqrt{9}+\dfrac{9}{3}=9\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.