Cho x+y+z=1 Tìm GTLN của P=2xy+xz+yz
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
5
15 tháng 1 2018
Dự đoán của chúa Pain x=y=z=1/3
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
\(2xy\le2\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\)
\(yz\le\left(\frac{y+z}{2}\right)^2\)
\(xz\le\left(\frac{z+x}{2}\right)^2\)
( vì X=Y=Z dự đoán của chúa pain) suy ra x+y=2x..ta được :
\(P\le2\left(\frac{x+y}{2}\right)^2+\left(\frac{y+z}{2}\right)^2+\left(\frac{z+x}{2}\right)^2\Leftrightarrow2x^2+y^2+z^2\)
\(P\le2x^2+y^2+z^2\Leftrightarrow P\le\frac{1}{3}\Leftrightarrow P\le\frac{2}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\Leftrightarrow P\le\frac{4}{9}\)
Vậy Max của P là 4/9 dâu = xảy ra khi x=y=z=1/3 đúng như dự đoán của chúa pain . chúa pain vô cmm nó địch :))
17 tháng 4 2019
\(2x+2y+z=4\Rightarrow z=4-2x-2y\)
Ta có: \(A=2xy+yz+xz\)
\(=2xy+y\left(4-2x-2y\right)+x\left(4-2x-2y\right)\)
\(=2xy+4y-2xy-2y^2+4x-2x^2-2xy\)
\(=4y-2xy-2y^2+4x-2x^2\)
\(\Rightarrow2A=8y-4xy-4y^2+8x-4x^2\)
\(=-4x^2-4x\left(y-2\right)-4y^2+8y\)
\(=-4x^2-2.x.2\left(y-2\right)-\left(y-2\right)^2+\left(y-2\right)^2-4y^2+8y\)
\(=-\left[4x^2+2.x.2\left(y-2\right)+\left(y-2\right)^2\right]+\left(y-2\right)^2-4y^2+8y\)
\(=-\left(2x+y-2\right)^2+y^2-4y+4-4x^2+8y\)
\(=-\left(2x+y-2\right)^2-3y^2+4y+4\)
\(=-\left(2x+y-2\right)^2-3\left(y^2-2.\frac{2}{3}y+\frac{4}{9}-\frac{4}{9}-\frac{4}{3}\right)\)
\(=-\left(2x+y-2\right)^2-3\left(y-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{16}{3}\)
\(=\frac{16}{3}-\left[\left(2x+y-2\right)^2+3\left(y-\frac{2}{3}\right)^2\right]\)
Vì \(\left(2x+y-2\right)^2\ge0;\left(y-\frac{2}{3}\right)^2\ge0\) Nên \(\frac{16}{3}-\left[\left(2x+y-2\right)^2+3\left(y-\frac{2}{3}\right)^2\right]\le\frac{16}{3}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{16}{3}:2=\frac{8}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=>\(\hept{\begin{cases}y-\frac{2}{3}=0\\2x+y-2=0\\z=4-2x-2y\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{-y+2}{2}\\y=\frac{2}{3}\\z=4-2x-2y\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{2}{3}\\y=\frac{2}{3}\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}}\)
Vậy AMax = 8/3 khi và chỉ khi x = y = 2/3 và z = 4/3
XX
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=1. Tìm GTLN của P = \(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\)
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 4 2021
\(P=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}+\sqrt{y\left(x+y+z\right)+xz}+\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}\)
\(P=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(x+y+x+z\right)+\dfrac{1}{2}\left(x+y+y+z\right)+\dfrac{1}{2}\left(x+z+y+z\right)\)
\(P\le2\left(x+y+z\right)=2\)
\(P_{max}=2\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
HN
27 tháng 4 2018
\(A=2xy+yz+xz\)
\(=2xy+y\left(4-2x-2y\right)+x\left(4-2x-2y\right)\)
\(=-2x^2-2xy+4x-2y^2+4y\)
\(=\left[-\left(x^2+2xy+y^2\right)+\dfrac{8}{3}\left(x+y\right)-\dfrac{16}{9}\right]-\left(x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{9}\right)-\left(y-\dfrac{4}{3}y+\dfrac{4}{9}\right)+\dfrac{8}{3}\)\(=-\left(x+y-\dfrac{4}{3}\right)^2-\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^2-\left(y-\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{8}{3}\le\dfrac{8}{3}\)
Vậy \(A_{max}=\dfrac{8}{3}\) tại \(\left\{{}\begin{matrix}x=y=\dfrac{2}{3}\\z=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)
27 tháng 4 2018
z = 4-2(x+y)
=> A= 2xy + y[4-2(x+y)] + x[4-2(x+y)]
=\(2xy+4y-2xy-2y^2+4x-2x^2-2xy\)
= \(-\left(y^2-4y+4\right)-\left(x^2-4x+4\right)-\left(y^2+2xy+x^2\right)+8\)
=\(8-\left[\left(y-2\right)^2+\left(x-2\right)^2-\left(y-x\right)^2\right]\le8\forall x,y\)
vậy GTLN của A là 8 khi x=y=2
TV
1
MD
1
16 tháng 7 2021
\(=>A=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\)
áp dụng BĐT AM-GM
\(=>\sqrt{x-1}\le\dfrac{x-1+1}{2}=\dfrac{x}{2}\)
\(=>\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\le\dfrac{\dfrac{x}{2}}{x}=\dfrac{1}{2}\left(1\right)\)
có \(\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}=\dfrac{\sqrt{\left(y-2\right)2}}{\sqrt{2}.y}\)
\(=>\sqrt{\left(y-2\right)2}\le\dfrac{y-2+2}{2}=\dfrac{y}{2}\)
\(=>\dfrac{\sqrt{\left(y-2\right)2}}{\sqrt{2}.y}\le\dfrac{\dfrac{y}{2}}{\sqrt{2}.y}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(2\right)\)
tương tự \(=>\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\le\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\left(3\right)\)
(1)(2)(3)\(=>A\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)
N
3
G
14 tháng 5 2019
Ta có: \(x+y+z=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\\\sqrt{y+xz}=\sqrt{y\left(x+y+z\right)+xz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\\\sqrt{z+xy}=\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}=\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\end{cases}}\)
Ta viết lại A
\(A=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\)
Áp dụng bđt AM-GM:
\(A\le\frac{x+y+x+z+x+y+y+z+y+z+x+z}{2}=2\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
14 tháng 5 2019
\(x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz\)
\(=x^2+xy+xz+yz\)
\(=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)
+ Tương tự : \(y+xz=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
\(z+xy=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
+ Theo bđt AM-GM : \(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\frac{x+y+x+z}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\le\frac{2x+y+z}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x+y=x+z\Leftrightarrow y=z\)
+ Tương tự ta cm đc :
\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\le\frac{x+2y+z}{2}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=z\)
\(\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\le\frac{x+y+2z}{2}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)
Do đó : \(A\le\frac{4\left(x+y+z\right)}{2}=2\)
A = 2 \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
Vậy Max A = 2 \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)