Question

[Võ Thị Kim Dung]

CMR mọi số thực khác không x,y ta có :

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta có \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2+2\geq 3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\geq 0\) (1)

Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\)

\((1)\Leftrightarrow a^2-3a+2\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (a-2)(a-1)\geq 0\)\((\star)\)

Ta thấy \(a^2=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số không âm \(\frac{x^2}{y^2};\frac{y^2}{x^2}\)

\( a^2\geq 2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}.\frac{y^2}{x^2}}+2=4\)

\(\Rightarrow a\geq 2\) hoặc \(a\leq -2\)

+TH1: \(a\geq 2\Rightarrow a-2;a-1\geq 0\Rightarrow (a-2)(a-1)\geq 0\), ta thu được \((\star)\)

+TH2: \(a\leq -2\Rightarrow a-2;a-1\leq 0\Rightarrow (a-2)(a-1)\geq 0\), ta thu được \((\star)\)

Vậy bài toán được chứng minh.

Answer 2

[Unruly Kid]

BĐT tương đương

\(\dfrac{x^4+y^4+4x^2y^2-3x^3y-3xy^3}{x^2y^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4-2x^2y^2+6x^2y^2-3x^3y-3xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2-3xy\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+y\right)\left(x-y\right)\right]^2-3xy\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(a-\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\right]\ge0\)

BĐT cuối đúng. Vậy ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi a=b