Question

[Duong Thi Nhuong]

Hình vuông ABCD, M thuộc CD. Vẽ phân giác góc ABM tia này cắt AD ở N. Chứng minh AN + CM = BM

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

Lấy điểm \(R\in AB|\angle BCR=\angle ABN\). $CR$ cắt $BM$ tại $K$ và $BN$ tại $E$

Khi đó:

\(\left\{\begin{matrix} \angle BCR=\angle ABN\\ \angle RBC=\angle NAB=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle ABN\sim \triangle BCR\)

\(\Rightarrow 1=\frac{AB}{BC}=\frac{AN}{BR}\Rightarrow AN=BR(1)\)

Từ hai tam giác đồng dạng ta cũng suy ra \(\angle ANE=\angle ANB=\angle CRB=\angle ERB\)

Xét tứ giác $AREK$ có \(\angle A+\angle ARE+\angle ANE+\angle NER=360^0\)

\(\Leftrightarrow 90^0+\angle ARE+\angle ERB+\angle NER=360^0\)

\(\Leftrightarrow 90^0+180^0+\angle NER=360^0\Rightarrow \angle NER=90^0\rightarrow BE\perp RK\)

Tam giác $RBK$ có $BE$ vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên $RBK$ là tam giác cân tại $B$

\(\Rightarrow BR=BK(2)\). Từ \((1),(2)\Rightarrow AN=BK\)

Tam giá $RBK$ cân \(\Rightarrow \angle BRK=\angle BKR=\angle MKC\)

Mà \(\angle BRK=\angle KCM\) (so le trong) nên \(\angle MKC=\angle KCM\Rightarrow \triangle KMC\) cân tại $M$

\(\Rightarrow CM=MK\)

Do đó, \(AN+CM=BK+MK=BM\) (đpcm)

\(\)