Cho x, y >1 .
Chứng minh:\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2021
\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}=\dfrac{x^2+y^2+2}{\left(xy\right)^2+x^2+y^2+1}=1-\dfrac{\left(xy\right)^2-1}{\left(xy\right)^2+x^2+y^2+1}\ge1-\dfrac{\left(xy\right)^2-1}{\left(xy\right)^2+2xy+1}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge1-\dfrac{\left(xy+1\right)\left(xy-1\right)}{\left(xy+1\right)^2}=1-\dfrac{xy-1}{xy+1}=\dfrac{2}{1+xy}\) (đpcm)
b. Tương tự câu a:
\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+z^2}\ge\dfrac{2}{1+zx}\) ; \(\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}\ge\dfrac{2}{1+yz}\)
Cộng vế với vế và rút gọn:
\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}\ge\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{z+zx}\) (1)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}z\ge1\Rightarrow1+xy\le1+xyz\\y\ge1\Rightarrow1+zx\le1+xyz\\x\ge1\Rightarrow1+yz\le1+xyz\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+zx}\ge\dfrac{1}{1+xyz}+\dfrac{1}{1+xyz}+\dfrac{1}{1+xyz}=\dfrac{3}{1+xyz}\) (2)
TỪ (1); (2) \(\Rightarrowđpcm\)
1 tháng 3 2021
a) Ta có: \(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(1+xy\right)-\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{\left(1+xy\right)-\left(1+y^2\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(xy-x^2\right)\left(1+y^2\right)+\left(xy-y^2\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy+xy^3-x^2-x^2y^2+xy+x^3y-y^2-x^2y^2}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2xy+xy\left(x^2+y^2\right)-2x^2y^2-x^2-y^2}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy\left(x^2-2xy+y^2\right)-\left(x^2-2xy+y^2\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)\left(1+x^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy\left(x-y\right)^2-\left(x-y\right)^2}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)(luôn đúng)
=> Đẳng thức ban đầu được chứng minh.
P/s: Cái đoạn sau bạn bổ sung thêm vào là vì x và y lớn hơn bằng 1 nên xy-1 sẽ lớn hơn hoặc bằng 0 nhé, mình lười quá ngại chèn:vv.
Còn câu b bạn đợi mình nháp xíu.
KK
15 tháng 4 2018
\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)
⇔ \(\left(\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)+\left(\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)\ge0\)
⇔ \(\left(\dfrac{1+xy-\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\right)+\left(\dfrac{1+xy-\left(1+y^2\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\right)\ge0\)
⇔ \(\left(\dfrac{1+xy-1-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\right)+\left(\dfrac{1+xy-1-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\right)\ge0\)
⇔ \(\dfrac{-x\left(x-y\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{-y\left(y-x\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
⇔ \(\dfrac{-x\left(x-y\right)\left(1+y^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
=> -x(x-y)(1+y2)+y(x-y)(1+x2) ≥ 0
⇔ (x-y)[-x(1+y2)+y(1+x2)]≥0
⇔ (x-y)(-x-xy2+y+x2y) ≥0
⇔ (x-y)[-(x-y)+(x2y-y2x)] ≥ 0
⇔ (x-y)[-(x-y)+xy(x-y) ]≥ 0
⇔ (x-y)(x-y)(xy-1)≥ 0
⇔ (x-y)2 (xy-1) ≥0 (luôn đúng ∀ xy ≥ 1)
=> đpcm
22 tháng 3 2019
bạn pải giả sử trước chứ nếu ntn thì người chấm hỏi ai cho lôi phần chứng minh ra làm phần mục đề
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 10 2021
Chứng minh bằng phép biến đổi tương đương:
1.
\(\Leftrightarrow4+x+y\ge4\sqrt{x+y}\)
\(\Leftrightarrow x+y-4\sqrt{x+y}+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+y}-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
2.
\(\Leftrightarrow\dfrac{y+z}{xyz}\ge\dfrac{4}{x^2+yz}\)
\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)\left(x^2+yz\right)\ge4xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+x^2z+y^2z+z^2y-4xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow y\left(x^2+z^2-2xz\right)+z\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)
31 tháng 7 2018
Sai đề kìa.
Bạn tham khảo: Câu hỏi của Ngoc An Pham - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
UK
19 tháng 8 2017
b) \(x,y\ge1\Rightarrow xy\ge1\)
BĐT đã cho tương đương với:
\(\left(\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)+\left(\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{xy-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow+\dfrac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
BĐT cuối luôn đúng nên ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi x=y hoặc xy=1
14 tháng 6 2017
\(M=\dfrac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)
\(=\dfrac{yz\sqrt{x-1}}{xyz}+\dfrac{xz\sqrt{y-2}}{xyz}+\dfrac{xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{x-1}\le\dfrac{1+x-1}{2}=\dfrac{x}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\le\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}\)
\(\sqrt{y-2}=\dfrac{\sqrt{2\left(y-2\right)}}{\sqrt{2}}\le\dfrac{y}{2\sqrt{2}}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}\le\dfrac{y}{2\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\sqrt{z-3}=\dfrac{\sqrt{3\left(z-3\right)}}{\sqrt{3}}\le\dfrac{z}{2\sqrt{3}}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\le\dfrac{z}{2\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(M\le\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\) (ĐPCM)
\(\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1+xy-1-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{1+xy-1-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x\left(y-x\right)\left(1+y^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x\left(y-x\right)\left(1+y^2\right)+y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\forall x,y>1\)