Question

[Hoàng Hạ Tố Như]

Có thể giúp mình không ạ!

a) \(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\) biết abc=1

b) \(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ac}+\dfrac{c^3}{ab}\ge a+b+c\)

c) \(\dfrac{ab}{a^5+ab+b^5}+\dfrac{bc}{b^5+bc+c^5}+\dfrac{ac}{a^5+ac+c^5}\) biết abc=1

Xin cảm ơn các bạn trước ạ!

Answer 1

[Nguyễn Quang Định]

b)Ta có: \(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ac}+\dfrac{c^3}{ab}\ge a+b+c\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^4}{abc}+\dfrac{b^4}{abc}+\dfrac{c^4}{abc}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^4+b^4+c^4}{abc}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)

Ta xét BĐT phụ: \(x^2+y^2\ge2xy\)

\(y^2+z^2\ge2yz\)

\(x^2+z^2\ge2xz\)

Cộng các BĐT phụ vừa chứng minh:

\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

Áp dụng vào bài, ta có:

\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)

Áp dụng lần nữa:

\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge ab^2c+bc^2a+a^2bc=abc\left(a+b+c\right)\)

Vậy ta suy ra được điều phải chứng minh

Answer 2

[Nguyễn Quang Định]

a) Đặt vế trái BĐT là P

\(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{1+b}{8}+\dfrac{1+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3\left(1+b\right)\left(1+c\right)}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)8.8}}=\dfrac{3a}{4}\)

Tương tự: \(\dfrac{b^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{1+a}{8}+\dfrac{1+c}{8}\ge\dfrac{3b}{4}\)

\(\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\dfrac{1+a}{8}+\dfrac{1+b}{8}\ge\dfrac{3c}{4}\)

Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh

\(P+\dfrac{6+2a+2b+2c}{8}\ge\dfrac{3a+3b+3c}{4}\)

\(P\ge\dfrac{3a+3b+3c}{4}-\dfrac{2\left(3+a+b+c\right)}{8}=\dfrac{3a+3b+3c-a-b-c-3}{4}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)-3}{4}\)

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{2.3-3}{4}=\dfrac{3}{4}\)