Cho \(\dfrac{a+b-2017c}{c}=\dfrac{b+c-2017a}{a}=\dfrac{c+a-2017b}{b}\)
Với a, b, c \(\ne0\). TínhP = \(\left(1+\dfrac{a}{b}\right).\left(1+\dfrac{b}{c}\right).\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 4 2023
+) Bài bất đẳng thức:
\(\dfrac{2017a-a^2}{bc}=\dfrac{\left(a+b+c\right)a-a^2}{bc}=\dfrac{ab+ca}{bc}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{a}{b}\left(1\right)\)
Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2017b-b^2}{ca}=\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}\left(2\right)\\\dfrac{2017c-c^2}{ab}=\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\Rightarrow\dfrac{2017a-a^2}{bc}+\dfrac{2017b-b^2}{bc}+\dfrac{2017c-c^2}{ab}=\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\)
\(\sqrt{2}\left(\sum\sqrt{\dfrac{2017-a}{a}}\right)=\sqrt{2}\left(\sum\sqrt{\dfrac{\left(a+b+c\right)-a}{a}}\right)=\sqrt{2}\left(\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b}}+\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\right)\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge\sqrt{2}\left(\sqrt{\dfrac{a+b}{c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b}}\right)\)
*Có: \(\sqrt{2.\dfrac{a+b}{c}}+\sqrt{2.\dfrac{b+c}{a}}+\sqrt{2.\dfrac{c+a}{b}}\le\dfrac{2+\dfrac{a+b}{c}}{2}+\dfrac{2+\dfrac{b+c}{a}}{2}+\dfrac{2+\dfrac{c+a}{b}}{2}=3+\dfrac{\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}}{2}\)
Ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge3+\dfrac{\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}}{2}\)
hay \(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge6\) (cái này chị tự chứng minh nhé)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 12 2021
Lời giải:
Bạn tham khảo cách làm tương tự tại đây:
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-dfracab-2017ccdfracbc-2017aadfracca-2017bbvoi-a-b-c-ne0-tinhp-left1dfracabrightleft1dfracb.161494910584
Kết quả $P=8$ hoặc $P=-1$
19 tháng 12 2021
E xin lỗi, e ko nhận câu trả lời này vì có chứa link tới các web khác
12 tháng 11 2021
\(\dfrac{b+c-5}{a}=\dfrac{a+c+2}{b}=\dfrac{a+b+3}{c}=\dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c-5=2a\\a+c+2=2b\\a+b+3=2c\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=a+5\\a+b+c=b-2\\a+b+c=c-3\end{matrix}\right.\)
Lại có \(\dfrac{1}{a+b+c}=2\Rightarrow a+b+c=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+5=\dfrac{1}{2}\\b-2=\dfrac{1}{2}\\c-3=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Từ đó tự giải ra
NT
10 tháng 2 2018
\(a^3+b^3+c^3=3abc\\ \Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\\ \Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\left(a+b+c\ne0\right)\\ \Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac\\ \Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\\ \Rightarrow a=b=c\\ \Rightarrow B=\dfrac{2}{a}.\dfrac{2}{b}.\dfrac{2}{c}=\dfrac{8}{abc}\)
17 tháng 6 2018
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
⇔ \(\dfrac{bc+ac+ab}{abc}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
⇔ \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)=abc\)
⇔ \(a^2b+abc+a^2c+ab^2+b^2c+abc+abc+bc^2+ac^2-abc=0\)
⇔ \(ab\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)+bc\left(b+c\right)=0\)
⇔ \(a\left(a+b+c\right)\left(b+c\right)+bc\left(b+c\right)=0\)
⇔ \(\left(b+c\right)\left(a^2+ab+ac+bc\right)=0\)
⇔ \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=0\)
22 tháng 9 2017
Theo đề bài thì:
\(\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{b+c-a}{a}=\dfrac{c+a-b}{b}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{b+c-a}{a}=\dfrac{c+a-b}{b}\)
\(=\dfrac{a+b-c+b+c-a+c+a-b}{c+a+b}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+b+c+c+a\right)-a-b-c}{c+a+b}\)
\(=\dfrac{a+b+c}{c+a+b}=1\)
Nên: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b-c=c\\b+c-a=a\\c+a-b=b\end{matrix}\right.\)
Mà
\(P=\left(1+\dfrac{b}{a}\right)\left(1+\dfrac{c}{b}\right)\left(1+\dfrac{a}{c}\right)\)
\(P=\left(\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{a}\right)\left(\dfrac{b}{b}+\dfrac{c}{b}\right)\left(\dfrac{c}{c}+\dfrac{a}{c}\right)\)
\(P=\left(\dfrac{a+b}{a}\right)\left(\dfrac{b+c}{b}\right)\left(\dfrac{c+a}{c}\right)\)
\(P=\left(\dfrac{b+c-a+c+a-b}{a}\right)\left(\dfrac{c+a-b+a+b-c}{b}\right)\left(\dfrac{a+b-c+b+c-a}{c}\right)\)
\(P=\dfrac{2c}{a}.\dfrac{2a}{b}.\dfrac{2b}{c}=\dfrac{8ab}{abc}=8\)
Vậy \(P=8\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 4 2022
1.
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\)
Ta có:
\(\left(ab-1\right)^2=a^2b^2-2ab+1=a^2b^2-a^2-b^2+1+a^2+b^2-2ab\)
\(=\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)+\left(a-b\right)^2\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\)
Tương tự: \(\left(bc-1\right)^2\ge\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\)
\(\left(ca-1\right)^2\ge\left(c^2-1\right)\left(a^2-1\right)\)
Do \(a;b;c\ge1\) nên 2 vế của các BĐT trên đều không âm, nhân vế với vế:
\(\left[\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\right]^2\ge\left[\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\right]^2\)
\(\Rightarrow\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Câu 2 em kiểm tra lại đề có chính xác chưa
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 4 2022
2.
Câu 2 đề thế này cũng làm được nhưng khá xấu, mình nghĩ là không thể chứng minh bằng Cauchy-Schwaz được, phải chứng minh bằng SOS
Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=max\left\{a;b;c\right\}\)
\(\Rightarrow\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\) (1)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{1}{a}-\dfrac{a+b}{bc+a^2}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{b+c}{ac+b^2}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{c+a}{ab+c^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b\left(c-a\right)}{a^3+abc}+\dfrac{c\left(a-b\right)}{b^3+abc}+\dfrac{a\left(b-c\right)}{c^3+abc}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)+a\left(c-b\right)}{a^3+abc}+\dfrac{c\left(a-b\right)}{b^3+abc}+\dfrac{a\left(b-c\right)}{c^3+abc}\ge0\)
\(\Leftrightarrow c\left(b-a\right)\left(\dfrac{1}{a^3+abc}-\dfrac{1}{b^3+abc}\right)+a\left(c-b\right)\left(\dfrac{1}{a^3+abc}-\dfrac{1}{c^3+abc}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)\left(b^3-a^3\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)\left(c^3-a^3\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(a^2+ac+c^2\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\ge0\)
Đúng theo (1)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Trần Thọ Đạt ông giải dùm đi!Bn ý k bk tag nên tui tag dùm!
Trần Thọ Đạt, giải giúp mình