Với p là số nguyên tố >3 CMR \(p^2-1⋮24\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DT
0
LD
2
24 tháng 6 2017
p là số nguyên tố p>3 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k-1.
Với p=3k+1 ta có;
\(p^2-1=\left(3k+1\right)^2-1=9k^2+6k+1-1=9k^2+6k=3k\left(3k+2\right)\)
Với p=3k-1 ta có
\(p^2-1=\left(3k11\right)^2-1=9k^2-6k+1-1=9k^2-6k=3k\left(3k-2\right)\)
OD
24 tháng 6 2017
.p nguyên tố > 3 <=> p\(⋮\)3\(\Rightarrow\)p2 - 1\(⋮\)3
.p ngt lẻ chia 8 dư 1 \(\Rightarrow\)p2 - 1\(⋮\)8
Vì 8, 3 nguyên tố cùng nhau nên p2 -1 \(⋮\)24
TT
0
HN
2
10 tháng 11 2018
vì n là số nguyên tố ,n>3 nên n có dạng: 3k+1 hoặc 3k+2
với n=3k+1 thì
\(\left(n-1\right)\left(n+1\right)=\)\(\left(3k +1-1\right)\left(3k+1+1\right)=\)\(3k\left(3k+2\right)⋮3\)(1)
với n=3k+2 thì
\(\left(n-1\right)\left(n+1\right)=\)\(\left(3k+2+1\right)\left(3k+2-1\right)=\)\(\left(3k+3\right)\left(3k+1\right)=\)\(3\left(k+1\right)\left(3k+1\right)⋮3\)(2)
vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên n là số lẻ nên n có dạng 2m+1
n=2m+1 thì
\(\left(n+1\right)\left(n-1\right)=\left(2m+1+1\right)\left(2m+1-1\right)\)\(=\left(2m+2\right)2m=2.2m\left(m+1\right)\)\(4m\left(m+1\right)⋮8\)(vì m(m+1) là hai sô tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 2 nhân 4 nữa là chia hết cho 8) (3)
mà (8,3)=1
từ (1),(2),(3) được đpcm
15 tháng 11 2018
vì n>3 nên n có dạng n=3k+1 hoặc n=3k+2
với n=3k+1 thì (n+1)(n-1)=(3k+2)3k chia hết cho 3
với n=3k+2 thì (n+1)(n-1)=(3k+3)(3k+1) chia hết cho 3
vậy với mọi số nguyên tố n>3 thì (n+1)(n-1) chia hết cho 3 (1)
mặt khác vì n>3 nên n là số lẻ =>n+1; n-1 là 2 số chẵn liên tiếp
=>trong hai số n+1; n-1 tồn tại một số là bội của 4
=> (n+1)(n-1) chia hết cho 8 (2)
từ (1) và (2) => (n+1)(n-1) chia hết cho 24 với mọi số nguyên tố n>3
MD
1
MD
0
NT
0
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
28 tháng 9 2021
a) \(p\)là số nguyên tố lớn hơn \(3\)nên \(p\)là số lẻ.
\(p=2k+1\)suy ra \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)=2k\left(2k+2\right)=4k\left(k+1\right)⋮8\)
(vì \(k\left(k+1\right)\)là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho \(2\))
\(p\)là số nguyên tố lớn hơn \(3\)nên \(p=3k\pm1\).
Khi đó \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)sẽ chia hết cho \(3\).
Mà \(\left(8,3\right)=1\)nên \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)chia hết cho \(8.3=24\).
b) Đặt \(\left(2n+1,3n+1\right)=d\).
Suy ra
\(\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\3n+1⋮d\end{cases}}\Rightarrow3\left(2n+1\right)-2\left(3n+1\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\).
Do đó ta có đpcm.
Ta có : p2−1=(p−1)(p+1)p^2-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)p2−1=(p−1)(p+1)
Vì p là số nguyên tố, p > 3 nên p không chia hết cho 3
Xét tích ba số nguyên liên tiếp : (p-1).p.(p+1) . Số này chia hết cho 3 vì một trong ba số ắt tìm được một số chia hết cho 3. Mà p không chia hết cho 3
=> (p-1)(p+1) = p2-1 chia hết cho 3 (1)
Ta chứng minh bài toán phụ : Với mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng 6m+16m+16m+1 hoặc 6m−16m-16m−1
Thật vậy , mọi số nguyên đều viết được dưới dạng 6m±1,6m±2,6m±36m\pm1,6m\pm2,6m\pm36m±1,6m±2,6m±3
Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì không chia hết cho 2 và 3 nên chúng chỉ có dạng 6m±16m\pm16m±1
Xét với số nguyên tố $p=6m\pm1\Rightarrow p^2-1=36m^2\pm12m=12m\left(3m\pm1\right)⋮8$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra p chia hết cho 3 và 8 , mà (3,8) = 1
=> p chia hết cho 24
Ta có : p2−1=(p−1)(p+1)p^2-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)p2−1=(p−1)(p+1)
Vì p là số nguyên tố, p > 3 nên p không chia hết cho 3
Xét tích ba số nguyên liên tiếp : (p-1).p.(p+1) . Số này chia hết cho 3 vì một trong ba số ắt tìm được một số chia hết cho 3. Mà p không chia hết cho 3
=> (p-1)(p+1) = p2-1 chia hết cho 3 (1)
Ta chứng minh bài toán phụ : Với mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng 6m+16m+16m+1 hoặc 6m−16m-16m−1
Thật vậy , mọi số nguyên đều viết được dưới dạng 6m±1,6m±2,6m±36m\pm1,6m\pm2,6m\pm36m±1,6m±2,6m±3
Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì không chia hết cho 2 và 3 nên chúng chỉ có dạng 6m±16m\pm16m±1
Xét với số nguyên tố $p=6m\pm1\Rightarrow p^2-1=36m^2\pm12m=12m\left(3m\pm1\right)⋮8$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra p chia hết cho 3 và 8 , mà (3,8) = 1
=> p chia hết cho 24