Cho hai đường thẳng : $\Delta:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y 3}{1}=\dfrac{z-4}{-2}$ $\Delta':\dfrac{x 2}{-4}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z 1}{4}$ a) Xét vị t...

1

NT

Nguyen Thuy Hoa

26 tháng 5 2017

Hình giải tích trong không gian

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;3;0), B(-3;1;4) và đường thẳng $\Delta:\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{\text{z}-2}{3}$ . Xét khối nón (N) có đỉnh có tọa độ nguyên thuộc đường thẳng $\Delta$ và ngoại tiếp mặt cầu đường kính AB. Khi (N) có thể tích nhỏ nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (N) có phương trình dạng ax+by+cz +1=0. Giá trị a+b+c...

LD

Linh Dieu

19 tháng 5 2021

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

20 tháng 5 2021

Mặt cầu tâm $I\left(-1;2;2\right)$ bán kính $R=3$, gọi $r$ là bán kính đường tròn đáy và $h$ là đường cao nón

Thực hiện mặt cắt qua trục khối nón ta được như hình bên dưới:

undefined

Đặt $\widehat{MIH}=x\Rightarrow\widehat{NIK}=180^0-2x$

$r=MH=R.tanx=3tanx$

$IN=\dfrac{IK}{cos\left(180^0-2x\right)}=\dfrac{3}{-cos2x}\Rightarrow h=IN+IH=3-\dfrac{3}{cos2x}$

$V=\dfrac{1}{3}\pi R^2h=9\pi.tan^2x.\left(1-\dfrac{1}{cos2x}\right)=9\pi.tan^2x\left(1-\dfrac{1+tan^2x}{1-tan^2x}\right)$

Đặt $tan^2x=t>0$ và $f\left(t\right)=t\left(1-\dfrac{1+t}{1-t}\right)=\dfrac{2t^2}{t-1}\Rightarrow f'\left(t\right)=\dfrac{2\left(t^2-2t\right)}{\left(t-1\right)^2}=0\Rightarrow t=2$

$f\left(t\right)_{min}=f\left(2\right)\Rightarrow V_{min}$ khi $tan^2x=2\Rightarrow cos2x=\dfrac{1-tan^2x}{1+tan^2x}=-\dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow IN=\dfrac{3}{-cos2x}=9$

Do N thuộc $\Delta$ nên tọa độ có dạng: $N\left(2-t;-1+t;2+3t\right)\Rightarrow\overrightarrow{IN}=\left(3-t;t-3;3t\right)$

$\Rightarrow2\left(t-3\right)^2+9t^2=81\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=-\dfrac{21}{11}\left(loại\right)\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow N\left(-1;2;8\right)$

Mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{IN}$ là 1 vtpt và cách I một khoảng bằng $R=3$, bạn tự hoàn thành phần còn lại

Đúng(1)

TA

Thụy An

24 tháng 7 2021

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1: $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z}{2}$và d2: $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-4}{3}$ và mp (P): 2x+2y+2z-5=0. Điểm M(a;b;c) thuộc mp (P) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường thẳng d1 và d2 đạt min. Tính a + 2b +c.

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

25 tháng 7 2021

Bài này cần có 1 điều gì đó đặc biệt trong các đường - mặt để giải được (nếu ko chỉ dựa trên khoảng cách thông thường thì gần như bất lực). Thường khoảng cách dính tới đường vuông góc chung, thử mò dựa trên nó :)

Bây giờ chúng ta đi tìm đường vuông góc chung d3 của d1; d2, và hi vọng rằng giao điểm C của d3 với (P) sẽ là 1 điểm nằm giữa A và B với A và giao của d1 và d3, B là giao của d2 và d3 (nằm giữa chứ ko cần trung điểm), thường ý tưởng của người ra đề sẽ là như vậy. Khi đó điểm M sẽ trùng C. Còn C không nằm giữa A và B mà nằm ngoài thì đầu hàng cho đỡ mất thời gian (khi đó việc tìm cực trị sẽ rất lâu).

Quy pt d1 và d2 về dạng tham số, gọi A là 1 điểm thuộc d1 thì $A\left(t+1;t+2;2t\right)$ và B là 1 điểm thuộc d2 thì $B\left(t'+1;2t'+3;3t'+4\right)$

$\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(t'-t;2t'-t+1;3t'-2t+4\right)$

$\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d1}}=0\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d2}}=0\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t'-t+2t'-t+1+2\left(3t'-2t+4\right)=0\\t'-t+2\left(2t'-t+1\right)+3\left(3t'-2t+4\right)=0\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=0\\t'=-1\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(1;2;0\right)\\B\left(0;1;1\right)\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\overrightarrow{BA}=\left(1;1-1\right)$

Phương trình AB hay d3: $\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2+t\\z=-t\end{matrix}\right.$

Giao điểm C của d3 và (P): $2\left(1+t\right)+2\left(2+t\right)-2t-5=0$

$\Rightarrow C\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)$

Ủa, ko chỉ nằm giữa luôn, mà người ta cho hẳn trung điểm cho cẩn thận :)

Vậy $M\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)$

Đúng(1)

TA

Thụy An

25 tháng 7 2021

Bài giải chi tiết quá ạ :)) Em cảm ơn nhiều ạ :vv

WK

Winter Khanh

9 tháng 5 2023

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;-2;3) và B(3;4;-1) và đường thẳng delta: $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-3}{2}$ . Gọi (P) là ax +by +cz-13=0 là mặt phẳng chứa delta và cách đều hai điểm A,B . Tổng S = a+b+c bằng

Cho x, y, z > 0 thoả mãn x+y+z=2. Tìm GTNN của các biểu thức: a) $A=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}$ b) $B=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}}$ c)...

0

TN

Tường Nguyễn Thế

26 tháng 1 2018

3

FA

Forever Alone

18 tháng 5 2018

Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức Mincopxki và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$A=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}$

$A\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}$

$A\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\right)^2}$

$A\ge\sqrt{4+\dfrac{81}{4}}=\sqrt{\dfrac{97}{4}}$

Dấu "=" xảy ra khi: $x=y=z=\dfrac{2}{3}$

FA

Forever Alone

18 tháng 5 2018

$B=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}}$

$B\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}$

$B=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}$

$B\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+2\left(\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\right)^2}$

$B\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{162}{\left(x+y+z\right)^2}}$

$B\ge\sqrt{4+\dfrac{162}{4}}=\sqrt{\dfrac{89}{2}}$

Dấu "=" xảy ra khi: $x=y=z=\dfrac{2}{3}$

Cho x, y, z > 0 thoả mãn x+y+z=2. Tìm GTNN của các biểu thức:a) $A=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}$b) $B=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}}$ c)...

N

๖ۣۜN̸͟͞G̸̸͟͟͞͞ọC̸̸͟͟͞͞❄V̸͟͞Y̸̸͟͟͞͞☆

9 tháng 12 2021

1)cho Q=$\dfrac{a^4+a^3-a^2-2a-2}{a^4+2a^3-a^2-4a-2}$

Tìm GTNN của Q

2)cho $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ và $\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=0$

CMR: $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$

#Toán lớp 8

2

NH

Nguyễn Hoàng Minh

9 tháng 12 2021

$1,Q=\dfrac{a^4-2a^2+a^3-2a+a^2-2}{a^4-2a^2+2a^3-4a+a^2-2}\\ Q=\dfrac{\left(a^2-2\right)\left(a^2+a+1\right)}{\left(a^2-2\right)\left(a^2+2a+1\right)}=\dfrac{a^2+a+1}{a^2+2a+1}$

$Q=\dfrac{x^2+x+1}{\left(x+1\right)^2}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{x^2+x+1-\dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{4}}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{3}{4}\\ Q=\dfrac{\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{\dfrac{1}{4}\left(x-1\right)^2}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\\ Q_{min}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow x=1$

Đúng(4)

NH

Nguyễn Hoàng Minh

9 tháng 12 2021

$2,\text{Từ GT }\Leftrightarrow\dfrac{ayz+bxz+czy}{xyz}=0\\ \Leftrightarrow ayz+bxz+czy=0\\ \text{Ta có }\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\\ \Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}\right)^2=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}+2\left(\dfrac{xy}{ab}+\dfrac{yz}{bc}+\dfrac{zx}{ca}\right)=0\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}+2\cdot\dfrac{cxy+ayz+bzx}{abc}=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}+2\cdot\dfrac{0}{abc}=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$

Đúng(4)

VT

Vi Thị Hòa

27 tháng 1 2018

1

VT

Vi Thị Hòa

27 tháng 1 2018

bài 3:

a, đặt $x 12 = y 9 = z 5 = k$

=>x=12k,y=9k,z=5k

ta có: ayz=20=> 12k.9k.5k=20

=> (12.9.5)k^3=20

=>540.k^3=20

=>k^3=20/540=1/27

=>k=1/3

=>x=12.1/3=4

y=9.1/3=3

z=5.1/3=5/3

vậy x=4,y=3,z=5/3

b,ta có: $x 5 = y 7 = z 3 = x 2 25 = y 2 49 = z 2 9$

A/D tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$x 5 = y 7 = z 3 = x 2 25 = y 2 49 = z 2 9 = x 2 + y 2 - z 2 25 + 49 - 9 = 585 65 = 9$

=>x=5.9=45

y=7.9=63

z=3*9=27

vậy x=45,y=63,z=27

ta có $A=\dfrac{1}{1+\dfrac{bc}{a}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{ca}{b}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{ab}{c}}$ đặt $\sqrt{\dfrac{bc}{a}};\sqrt{\dfrac{ca}{b}};\sqrt{\dfrac{ab}{c}}=\left(x;y;z\right)$ =>xy+yz+zx=1 ta có A=$\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}$ ta cần chứng minh...

VT

Vũ Tiền Châu

1 tháng 1 2018

#Toán lớp 8

0

TT

Thầy Tùng Dương

VIP

6 tháng 5 2022

Cho ba số thực $x, y, z$ thay đổi thỏa mãn các điều kiện $x>\dfrac{1}{4}, y>\dfrac{1}{3}, z>\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{4}{4 x+3}+\dfrac{3}{3 y+2}+\dfrac{2}{2 z+1} \geq 2$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=(4 x-1)(3 y-1)(2 z-1)$.

0

DT

đặng thị phương thảo

6 tháng 7 2018

cau a cho x,y,z$\ne$0 thoa man x+y+z=0. CM: $\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}=|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}|$ cau b tinh G=$\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}}+.....+\sqrt{1+\dfrac{1}{2017^2}+\dfrac{1}{2018^2}}$

1

TQ

Trần Quốc Lộc

6 tháng 7 2018

$\text{a) }\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}\\ =\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+2\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yz}\right)-2\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yz}\right)}\\ =\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-2\cdot\dfrac{x+y+z}{xyz}}\\ =\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|$

$\text{b) }\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1+\dfrac{1}{2017^2}+\dfrac{1}{2018^2}}\\ =1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+1+\dfrac{1}{2017}-\dfrac{1}{2018}\\ =2016+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2018}\\ =\dfrac{2034698}{1009}$