Tìm GTNN của biểu thức Q=\(\left(\left|x-3\right|+2\right)^2+\left|y+3\right|+2007\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 10 2019
1. a) Ta có: M = |x + 15/19| \(\ge\)0 \(\forall\)x
Dấu "=" xảy ra <=> x + 15/19 = 0 <=> x = -15/19
Vậy MinM = 0 <=> x = -15/19
b) Ta có: N = |x - 4/7| - 1/2 \(\ge\)-1/2 \(\forall\)x
Dấu "=" xảy ra <=> x - 4/7 = 0 <=> x = 4/7
Vậy MinN = -1/2 <=> x = 4/7
17 tháng 10 2019
2a) Ta có: P = -|5/3 - x| \(\le\)0 \(\forall\)x
Dấu "=" xảy ra <=> 5/3 - x = 0 <=> x = 5/3
Vậy MaxP = 0 <=> x = 5/3
b) Ta có: Q = 9 - |x - 1/10| \(\le\)9 \(\forall\)x
Dấu "=" xảy ra <=> x - 1/10 = 0 <=> x = 1/10
Vậy MaxQ = 9 <=> x = 1/10
5 tháng 10 2020
Biến đổi ta được: \(P=\frac{x^2}{x-1}+\frac{y^2}{y-1}\)
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương, ta có:
\(\frac{x^2}{x-1}+\frac{y^2}{y-1}\ge\frac{2xy}{\sqrt{x-1}.\sqrt{y-1}}\)
Lại có: \(x=\left(x-1\right)+1\ge2\sqrt{x-1}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{x-1}}\ge2\)
Tương tự: \(\frac{y}{\sqrt{y-1}}\ge2\Rightarrow\frac{2xy}{\sqrt{x-1}.\sqrt{y-1}}\ge8\)
Vậy Min P =8 khi và chỉ khi x=y=2
KN
6 tháng 10 2020
\(P=\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(kết hợp áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức)
Đặt a + b = s
Ta có: \(\left(s-4\right)^2\ge0\Leftrightarrow s^2-8s+16\ge0\Leftrightarrow s^2\ge8\left(s-2\right)\Leftrightarrow\frac{s^2}{s-2}\ge8\)
Vậy GTNN của P là 8 khi x = y = 2
14 tháng 1 2023
3 câu này bạn áp dụng cái này nhé.
`a^2 >=0 forall a`.
`|a| >=0 forall a`.
`1/a` xác định `<=> a ne 0`.
14 tháng 1 2023
a: P=(x+30)^2+(y-4)^2+1975>=1975 với mọi x,y
Dấu = xảy ra khi x=-30 và y=4
b: Q=(3x+1)^2+|2y-1/3|+căn 5>=căn 5 với mọi x,y
Dấu = xảy ra khi x=-1/3 và y=1/6
c: -x^2-x+1=-(x^2+x-1)
=-(x^2+x+1/4-5/4)
=-(x+1/2)^2+5/4<=5/4
=>R>=3:5/4=12/5
Dấu = xảy ra khi x=-1/2
A
10 tháng 11 2017
Điều kiện: \(x;y>1\)
\(A=\dfrac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)
\(=\dfrac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)
\(=\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1}\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)
Đặt \(x+y=a\left(a>2\right)\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{a^2}{a-2}=\dfrac{8\left(a-2\right)+\left(a^2-8a+16\right)}{a-2}=8+\dfrac{\left(a-4\right)^2}{a-2}\ge8\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 2
Vậy \(Min_A=8\Leftrightarrow x=y=2\)
3 tháng 6 2019
Câu hỏi của đào mai thu - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
eM THAM khảo nhé!
16 tháng 9 2020
Sử dụng BĐT Cauchy Schwarz ta dễ có:
\(P=\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)
\(=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\)
\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)
Ta cần chứng minh: \(\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-8\left(x+y\right)+16\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-4\right)^2\ge0\)( ĐPCM )
TT
16 tháng 9 2020
Có : \(P=\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)
\(=\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\)
Theo BĐT Cô - si ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y-1}.4\left(y-1\right)}=4x\)
\(\frac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge4y\)
Do đó ; \(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}+4.\left(x+y-2\right)\ge4\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge8\)
Hay : \(P\ge8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)
Vậy \(P_{min}=8\) khi \(x=y=2\)
18 tháng 2 2020
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2.\left(yz+1\right)^2.\left(zx+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}=A\)
Ta có \(A=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{zx+1}{z}\right)}=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(A\ge3\sqrt[3]{8\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}}=3.2=6\)
\(\Rightarrow P\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=\(\frac{1}{2}\)
18 tháng 2 2020
Làm tiếp bài ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★ chớ hình như bị ngược dấu ó.Do mình gà nên chỉ biết cô si mù mịt thôi ạ
\(3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
\(=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}\right)\left(z+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}\right)\left(x+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}\right)}\)
\(\ge3\sqrt[3]{5\sqrt[5]{\frac{y}{256x^4}}\cdot5\sqrt[5]{\frac{z}{256y^4}}\cdot5\sqrt[5]{\frac{x}{256z^4}}}\)
\(=3\sqrt[3]{125\sqrt[5]{\frac{xyz}{256^3\left(xyz\right)^4}}}\)
\(=15\sqrt[3]{\sqrt[5]{\frac{1}{256^3\left(xyz\right)^3}}}\)
\(\ge15\sqrt[15]{\frac{1}{256^3\cdot\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^9}}\)
\(\ge15\sqrt[15]{\frac{1}{256^3\cdot\frac{1}{2^9}}}=\frac{15}{2}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
PN
6 tháng 8 2020
Bài này thì AM-GM thôi
\(P=\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\)
Sử dụng BĐT AM-GM cho 3 số không âm ta có :
\(\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)^2}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)}{x^2\left(xy+1\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2\left(yz+1\right)^2\left(zx+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}}\)
\(=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{zx+1}{z}\right)}\)
\(=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy}{x}+\frac{1}{x}\right)\left(\frac{yz}{y}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{zx}{z}+\frac{1}{z}\right)}=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
Tiếp tục sử dụng AM-GM cho 2 số không âm ta được :
\(3\sqrt[3]{\left(2\sqrt[2]{y\frac{1}{x}}\right)\left(2\sqrt[2]{z\frac{1}{y}}\right)\left(2\sqrt[2]{x\frac{1}{z}}\right)}\ge3\sqrt[3]{\left(2\sqrt{\frac{y}{x}}\right)\left(2\sqrt{\frac{z}{y}}\right)\left(2\sqrt{\frac{x}{z}}\right)}\)
\(=3\sqrt[3]{8\left(\sqrt{\frac{y}{x}}.\sqrt{\frac{z}{y}}.\sqrt{\frac{x}{z}}\right)}=3\sqrt[3]{8.\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}}=3\sqrt[3]{8}=3.2=6\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Vậy \(Min_P=6\)đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
5 tháng 6 2019
Ta có :
\(A=\left(x-1\right)^4+\left(x-3\right)^4+6\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)^2\)
\(A=\left(x-1\right)^4+2\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)^2+\left(x-3\right)^4+4\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)^2\)
\(A=\left[\left(x-1\right)^2+\left(x-3\right)^2\right]^2+4\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)^2\)
\(A=\left[2x^2-8x+10\right]^2+4\left(x^2-4x+3\right)^2\)
\(A=\left[2\left(x-2\right)^2+2\right]+4\left[\left(x-2\right)^2-1\right]^2\)
\(A=4\left(x-2\right)^4+8\left(x-2\right)^2+4+4\left(x-2\right)^4-8\left(x-2\right)^2+4\)
\(A=8\left(x-2\right)^4+8\ge8\)
Vậy GTNN của biểu thức A là 8 \(\Leftrightarrow x=2\)
5 tháng 6 2019
Đặt x-2=y
=> \(A=\left(y+1\right)^4+\left(y-1\right)^4+6\left(y+1\right)^2\left(y-1\right)^2\)
Khai triển A ta được
\(A=2y^4+12y^2+2+6\left(y^4-2y^2+1\right)\)
\(=8y^4+8=8\left(y^4+1\right)\ge8\)
Dấu "=" xảy ra khi y=0 lúc đó x=0+2=2
Vậy Amin=8 khi x=2
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-3\right|\ge0\forall x\\\left|y+3\right|\ge0\forall y\end{matrix}\right.\)
+) \(\left|x-3\right|\ge0\Rightarrow\left(\left|x-3\right|+2\right)\ge2\)
\(\Rightarrow\left(\left|x-3\right|+2\right)^2\ge4\)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow x=3\)
=> \(Min_{\left(\left|x-3\right|+2\right)^2}=4\Leftrightarrow x=3\)
+) \(\left|y+3\right|\ge0\)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow y=-3\)
=> \(Min_{\left|y+3\right|}=0\Leftrightarrow y=-3\)
\(\Rightarrow MIN_Q=4+0+2017=2021\)
Vậy \(MIN_Q=2021\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-3\end{matrix}\right.\)
nhìn nhầm, thông cảm
bn sửa lại giùm + 2007 = 2011 nhé!